Issolvi 4x^2-7x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x - 1 = 0$$

Solvi għal x

$$x = \frac{\sqrt{65} + 7}{8} \approx 1.882782219$$

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}\approx -0.132782219$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 4 għal a, -7 għal b, u -1 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Ikkwadra -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Immultiplika -4 b'4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Immultiplika -16 b'-1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

Żid 49 ma' 16.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

L-oppost ta' -7 huwa 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Immultiplika 2 b'4.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} fejn ± hija plus. Żid 7 ma' \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} fejn ± hija minus. Naqqas \sqrt{65} minn 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Żid 1 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x^{2}-7x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Jekk tnaqqas -1 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$4x^{2}-7x=-\left(-1\right)$$

Naqqas -1 minn 0.

$$4x^{2}-7x=1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{1}{4}$$

Meta tiddividi b'4 titneħħa l-multiplikazzjoni b'4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

Iddividi -\frac{7}{4}, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb -\frac{7}{8}. Imbagħad żid il-kwadru ta' -\frac{7}{8} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Ikkwadra -\frac{7}{8} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Żid \frac{1}{4} ma' \frac{49}{64} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

Fattur x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

Issimplifika.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

Żid \frac{7}{8} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$