Issolvi 4x^2-5x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

Solvi għal x

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$x=1$$

Passi li jużaw il-Fatturar bl-Iggruppar

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffatura n-naħa tax-xellug bl-iggruppar. L-ewwel, in-naħa tax-xellug jeħtieġ tinkiteb mill-ġdid bħala 4x^{2}+ax+bx+1. Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

Minħabba li ab huwa pożittiv, a u b għandhom l-istess sinjal. Minħabba li a+b huwa negattiv, a u b huma t-tnejn negattiv. Elenka l-pari kollha bħal dawn li jagħtu prodott 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Ikkalkula s-somma għal kull par.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Is-soluzzjoni hija l-par li jagħti s-somma -5.

$$a=-4 b=-1$$

Erġa' ikteb 4x^{2}-5x+1 bħala \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

Fattur 4x fl-ewwel u -1 fit-tieni grupp.

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Iffattura 'l barra t-terminu komuni x-1 bl-użu ta' propjetà distributtiva.

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi x-1=0 u 4x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 4 għal a, -5 għal b, u 1 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Ikkwadra -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

Immultiplika -4 b'4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Żid 25 ma' -16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

L-oppost ta' -5 huwa 5.

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

Immultiplika 2 b'4.

$$x=\frac{5±3}{8}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{5±3}{8} fejn ± hija plus. Żid 5 ma' 3.

$$x=\frac{8}{8}$$

Iddividi 8 b'8.

$$x=1$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{5±3}{8} fejn ± hija minus. Naqqas 3 minn 5.

$$x=\frac{2}{8}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{2}{8} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

Jekk tnaqqas 1 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$4x^{2}-5x=-1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Meta tiddividi b'4 titneħħa l-multiplikazzjoni b'4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Iddividi -\frac{5}{4}, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb -\frac{5}{8}. Imbagħad żid il-kwadru ta' -\frac{5}{8} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Ikkwadra -\frac{5}{8} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Żid -\frac{1}{4} ma' \frac{25}{64} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Fattur x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Issimplifika.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Żid \frac{5}{8} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$