Issolvi 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

Solvi għal x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

Passi li jużaw il-Fatturar bl-Iggruppar

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffatura n-naħa tax-xellug bl-iggruppar. L-ewwel, in-naħa tax-xellug jeħtieġ tinkiteb mill-ġdid bħala 4x^{2}+ax+bx-27. Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

Minħabba li ab huwa negattiv, a u b għandhom sinjali opposti. Minħabba li a+b huwa negattiv, in-numru negattiv għandu l-valur assolut akbar mill-pożittiv. Elenka l-pari kollha bħal dawn li jagħtu prodott -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Ikkalkula s-somma għal kull par.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Is-soluzzjoni hija l-par li jagħti s-somma -12.

$$a=-18 b=6$$

Erġa' ikteb 4x^{2}-12x-27 bħala \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

Fattur 2x fl-ewwel u 3 fit-tieni grupp.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Iffattura 'l barra t-terminu komuni 2x-9 bl-użu ta' propjetà distributtiva.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi 2x-9=0 u 2x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 4 għal a, -12 għal b, u -27 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Ikkwadra -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Immultiplika -4 b'4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Immultiplika -16 b'-27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Żid 144 ma' 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

L-oppost ta' -12 huwa 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

Immultiplika 2 b'4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{12±24}{8} fejn ± hija plus. Żid 12 ma' 24.

$$x=\frac{36}{8}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{36}{8} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 4.

$$x=\frac{9}{2}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{12±24}{8} fejn ± hija minus. Naqqas 24 minn 12.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{-12}{8} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Żid 27 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Jekk tnaqqas -27 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

Naqqas -27 minn 0.

$$4x^{2}-12x=27$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

Meta tiddividi b'4 titneħħa l-multiplikazzjoni b'4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

Iddividi -12 b'4.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

Iddividi -3, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb -\frac{3}{2}. Imbagħad żid il-kwadru ta' -\frac{3}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ikkwadra -\frac{3}{2} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Żid \frac{27}{4} ma' \frac{9}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

Fattur x^{2}-3x+\frac{9}{4}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Issimplifika.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

Żid \frac{3}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$