Issolvi 4x^2+4x+9=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

Solvi għal x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0.5+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0.5-1.414213562i$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 4 għal a, 4 għal b, u 9 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Ikkwadra 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Immultiplika -4 b'4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

Immultiplika -16 b'9.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

Żid 16 ma' -144.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' -128.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

Immultiplika 2 b'4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} fejn ± hija plus. Żid -4 ma' 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

Iddividi -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} b'8.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} fejn ± hija minus. Naqqas 8i\sqrt{2} minn -4.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

Iddividi -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} b'8.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

Jekk tnaqqas 9 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Meta tiddividi b'4 titneħħa l-multiplikazzjoni b'4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

Iddividi 4 b'4.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Iddividi 1, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb \frac{1}{2}. Imbagħad żid il-kwadru ta' \frac{1}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ikkwadra \frac{1}{2} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Żid -\frac{9}{4} ma' \frac{1}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

Fattur x^{2}+x+\frac{1}{4}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Issimplifika.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Naqqas \frac{1}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$