Issolvi 4x^2+110x+25=0

$$4 x ^ { 2 } + 110 x + 25 = 0$$

Solvi għal x

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4}\approx -0.229182717$$

$$x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}\approx -27.270817283$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$4x^{2}+110x+25=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 4 għal a, 110 għal b, u 25 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-110±\sqrt{110^{2}-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Ikkwadra 110.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Immultiplika -4 b'4.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-16\times 25}}{2\times 4}$$

Immultiplika -16 b'25.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-400}}{2\times 4}$$

Żid 12100 ma' -400.

$$x=\frac{-110±\sqrt{11700}}{2\times 4}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 11700.

$$x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{2\times 4}$$

Immultiplika 2 b'4.

$$x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{8}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{8} fejn ± hija plus. Żid -110 ma' 30\sqrt{13}.

$$x=\frac{30\sqrt{13}-110}{8}$$

Iddividi -110+30\sqrt{13} b'8.

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{8} fejn ± hija minus. Naqqas 30\sqrt{13} minn -110.

$$x=\frac{-30\sqrt{13}-110}{8}$$

Iddividi -110-30\sqrt{13} b'8.

$$x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4} x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+110x+25=0$$

Naqqas 25 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x^{2}+110x+25-25=-25$$

Jekk tnaqqas 25 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$4x^{2}+110x=-25$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$\frac{4x^{2}+110x}{4}=-\frac{25}{4}$$

Meta tiddividi b'4 titneħħa l-multiplikazzjoni b'4.

$$x^{2}+\frac{110}{4}x=-\frac{25}{4}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{110}{4} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 2.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x=-\frac{25}{4}$$

Iddividi \frac{55}{2}, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb \frac{55}{4}. Imbagħad żid il-kwadru ta' \frac{55}{4} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x+\left(\frac{55}{4}\right)^{2}=-\frac{25}{4}+\left(\frac{55}{4}\right)^{2}$$

Ikkwadra \frac{55}{4} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x+\frac{3025}{16}=-\frac{25}{4}+\frac{3025}{16}$$

Żid -\frac{25}{4} ma' \frac{3025}{16} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x+\frac{3025}{16}=\frac{2925}{16}$$

Fattur x^{2}+\frac{55}{2}x+\frac{3025}{16}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{55}{4}\right)^{2}=\frac{2925}{16}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{55}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2925}{16}}$$

Issimplifika.

$$x+\frac{55}{4}=\frac{15\sqrt{13}}{4} x+\frac{55}{4}=-\frac{15\sqrt{13}}{4}$$

Naqqas \frac{55}{4} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4} x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}$$