Issolvi 3x-2y=14text{and}2x+2y=6

$$3 x - 2 y = 14 \text { and } 2 x + 2 y = 6$$

Solvi għal x, y

$$x=4$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x-2y=14,2x+2y=6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x-2y=14$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=2y+14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+14\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'14+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{14}{3}$$

Issostitwixxi \frac{14+2y}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+2y=6.

$$2\left(\frac{2}{3}y+\frac{14}{3}\right)+2y=6$$

Immultiplika 2 b'\frac{14+2y}{3}.

$$\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}+2y=6$$

Żid \frac{4y}{3} ma' 2y.

$$\frac{10}{3}y+\frac{28}{3}=6$$

Naqqas \frac{28}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{10}{3}y=-\frac{10}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{10}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'x=\frac{2}{3}y+\frac{14}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{14}{3}$$

Immultiplika \frac{2}{3} b'-1.

$$x=\frac{-2+14}{3}$$

Żid \frac{14}{3} ma' -\frac{2}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x-2y=14,2x+2y=6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 14+\frac{1}{5}\times 6\\-\frac{1}{5}\times 14+\frac{3}{10}\times 6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=4,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x-2y=14,2x+2y=6$$

Biex tagħmel 3x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 14,3\times 2x+3\times 2y=3\times 6$$

Issimplifika.

$$6x-4y=28,6x+6y=18$$

Naqqas 6x+6y=18 minn 6x-4y=28 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x-4y-6y=28-18$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-4y-6y=28-18$$

Żid -4y ma' -6y.

$$-10y=28-18$$

Żid 28 ma' -18.

$$-10y=10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-10.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'2x+2y=6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+2\left(-1\right)=6$$

Immultiplika 2 b'-1.

$$2x-2=6$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=-1$$