Issolvi 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Solvi għal x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 6y miż-żewġ naħat.

$$3x+9-6y=0$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$3x-6y=-9$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 12 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$-2x-2y=12$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x-6y=-9$$

Żid 6y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=6y-9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'6y-9.

$$x=2y-3$$

Issostitwixxi 2y-3 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Immultiplika -2 b'2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Żid -4y ma' -2y.

$$-6y+6=12$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-6y=6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-6.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'x=2y-3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Immultiplika 2 b'-1.

$$x=-2-3$$

Żid -3 ma' -2.

$$x=-5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-5,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 6y miż-żewġ naħat.

$$3x+9-6y=0$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$3x-6y=-9$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 12 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$-2x-2y=12$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-5,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 6y miż-żewġ naħat.

$$3x+9-6y=0$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$3x-6y=-9$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 12 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$-2x-2y=12$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Biex tagħmel 3x u -2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Issimplifika.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Naqqas -6x-6y=36 minn -6x+12y=18 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Żid -6x ma' 6x. -6x u 6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$12y+6y=18-36$$

Żid 12y ma' 6y.

$$18y=18-36$$

Żid 18 ma' -36.

$$18y=-18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'18.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'-2x-2y=12. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Immultiplika -2 b'-1.

$$-2x+2=12$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=-5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-5,y=-1$$