Issolvi 3x+2y=12,12=9x-8y

$$3 x + 2 y = 12,12 = 9 x - 8 y$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

$$y = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7} \approx 1.714285714$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$9x-8y=12$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+2y=12,9x-8y=12$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+2y=12$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-2y+12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+12\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-2y+12.

$$x=-\frac{2}{3}y+4$$

Issostitwixxi -\frac{2y}{3}+4 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 9x-8y=12.

$$9\left(-\frac{2}{3}y+4\right)-8y=12$$

Immultiplika 9 b'-\frac{2y}{3}+4.

$$-6y+36-8y=12$$

Żid -6y ma' -8y.

$$-14y+36=12$$

Naqqas 36 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-14y=-24$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-14.

$$y=\frac{12}{7}$$

Issostitwixxi \frac{12}{7} għal y f'x=-\frac{2}{3}y+4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{12}{7}+4$$

Immultiplika -\frac{2}{3} b'\frac{12}{7} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{8}{7}+4$$

Żid 4 ma' -\frac{8}{7}.

$$x=\frac{20}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{12}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$9x-8y=12$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+2y=12,9x-8y=12$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-2\times 9}&-\frac{2}{3\left(-8\right)-2\times 9}\\-\frac{9}{3\left(-8\right)-2\times 9}&\frac{3}{3\left(-8\right)-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{21}\times 12+\frac{1}{21}\times 12\\\frac{3}{14}\times 12-\frac{1}{14}\times 12\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{7}\\\frac{12}{7}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{12}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$9x-8y=12$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+2y=12,9x-8y=12$$

Biex tagħmel 3x u 9x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'9 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$9\times 3x+9\times 2y=9\times 12,3\times 9x+3\left(-8\right)y=3\times 12$$

Issimplifika.

$$27x+18y=108,27x-24y=36$$

Naqqas 27x-24y=36 minn 27x+18y=108 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$27x-27x+18y+24y=108-36$$

Żid 27x ma' -27x. 27x u -27x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$18y+24y=108-36$$

Żid 18y ma' 24y.

$$42y=108-36$$

Żid 108 ma' -36.

$$42y=72$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'42.

$$y=\frac{12}{7}$$

Issostitwixxi \frac{12}{7} għal y f'9x-8y=12. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$9x-8\times \frac{12}{7}=12$$

Immultiplika -8 b'\frac{12}{7}.

$$9x-\frac{96}{7}=12$$

Żid \frac{96}{7} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$9x=\frac{180}{7}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$x=\frac{20}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{12}{7}$$