Issolvi 3x+10y=102,3x+1y=84

$$3 x + 10 y = 102,3 x + 1 y = 84$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{82}{3} = 27\frac{1}{3} \approx 27.333333333$$

$$y=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+10y=102$$

Naqqas 10y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-10y+102$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+102\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-10y+102.

$$x=-\frac{10}{3}y+34$$

Issostitwixxi -\frac{10y}{3}+34 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+y=84.

$$3\left(-\frac{10}{3}y+34\right)+y=84$$

Immultiplika 3 b'-\frac{10y}{3}+34.

$$-10y+102+y=84$$

Żid -10y ma' y.

$$-9y+102=84$$

Naqqas 102 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-9y=-18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-9.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'x=-\frac{10}{3}y+34. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{10}{3}\times 2+34$$

Immultiplika -\frac{10}{3} b'2.

$$x=-\frac{20}{3}+34$$

Żid 34 ma' -\frac{20}{3}.

$$x=\frac{82}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-10\times 3}&-\frac{10}{3-10\times 3}\\-\frac{3}{3-10\times 3}&\frac{3}{3-10\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}&\frac{10}{27}\\\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}\times 102+\frac{10}{27}\times 84\\\frac{1}{9}\times 102-\frac{1}{9}\times 84\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{82}{3}\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

Naqqas 3x+y=84 minn 3x+10y=102 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$3x-3x+10y-y=102-84$$

Żid 3x ma' -3x. 3x u -3x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$10y-y=102-84$$

Żid 10y ma' -y.

$$9y=102-84$$

Żid 102 ma' -84.

$$9y=18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'3x+y=84. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+2=84$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=82$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{82}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$