Issolvi 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Solvi għal n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$n=3$$

Passi li jużaw il-Fatturar bl-Iggruppar

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffatura n-naħa tax-xellug bl-iggruppar. L-ewwel, in-naħa tax-xellug jeħtieġ tinkiteb mill-ġdid bħala 3n^{2}+an+bn-15. Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Minħabba li ab huwa negattiv, a u b għandhom sinjali opposti. Minħabba li a+b huwa negattiv, in-numru negattiv għandu l-valur assolut akbar mill-pożittiv. Elenka l-pari kollha bħal dawn li jagħtu prodott -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Ikkalkula s-somma għal kull par.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Is-soluzzjoni hija l-par li jagħti s-somma -4.

$$a=-9 b=5$$

Erġa' ikteb 3n^{2}-4n-15 bħala \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Fattur 3n fl-ewwel u 5 fit-tieni grupp.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Iffattura 'l barra t-terminu komuni n-3 bl-użu ta' propjetà distributtiva.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi n-3=0 u 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 3 għal a, -4 għal b, u -15 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Ikkwadra -4.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Immultiplika -4 b'3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Immultiplika -12 b'-15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Żid 16 ma' 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

L-oppost ta' -4 huwa 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Immultiplika 2 b'3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni n=\frac{4±14}{6} fejn ± hija plus. Żid 4 ma' 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Iddividi 18 b'6.

$$n=3$$

Issa solvi l-ekwazzjoni n=\frac{4±14}{6} fejn ± hija minus. Naqqas 14 minn 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{-10}{6} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Żid 15 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Jekk tnaqqas -15 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Naqqas -15 minn 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

Meta tiddividi b'3 titneħħa l-multiplikazzjoni b'3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Iddividi 15 b'3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Iddividi -\frac{4}{3}, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb -\frac{2}{3}. Imbagħad żid il-kwadru ta' -\frac{2}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Ikkwadra -\frac{2}{3} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Żid 5 ma' \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Fattur n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Issimplifika.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Żid \frac{2}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$