Issolvi 3n^2+10n=8

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

Solvi għal n

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Passi li jużaw il-Fatturar bl-Iggruppar

Naqqas 8 miż-żewġ naħat.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffatura n-naħa tax-xellug bl-iggruppar. L-ewwel, in-naħa tax-xellug jeħtieġ tinkiteb mill-ġdid bħala 3n^{2}+an+bn-8. Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Minħabba li ab huwa negattiv, a u b għandhom sinjali opposti. Minħabba li a+b huwa pożittiv, in-numru pożittiv għandu l-valur assolut akbar min-negattiv. Elenka l-pari kollha bħal dawn li jagħtu prodott -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Ikkalkula s-somma għal kull par.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Is-soluzzjoni hija l-par li jagħti s-somma 10.

$$a=-2 b=12$$

Erġa' ikteb 3n^{2}+10n-8 bħala \left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right).

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

Fattur n fl-ewwel u 4 fit-tieni grupp.

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

Iffattura 'l barra t-terminu komuni 3n-2 bl-użu ta' propjetà distributtiva.

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi 3n-2=0 u n+4=0.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$3n^{2}+10n=8$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

Jekk tnaqqas 8 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 3 għal a, 10 għal b, u -8 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Ikkwadra 10.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Immultiplika -4 b'3.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Immultiplika -12 b'-8.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Żid 100 ma' 96.

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 196.

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

Immultiplika 2 b'3.

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni n=\frac{-10±14}{6} fejn ± hija plus. Żid -10 ma' 14.

$$n=\frac{4}{6}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{4}{6} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 2.

$$n=\frac{2}{3}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni n=\frac{-10±14}{6} fejn ± hija minus. Naqqas 14 minn -10.

$$n=-\frac{24}{6}$$

Iddividi -24 b'6.

$$n=-4$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+10n=8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

Meta tiddividi b'3 titneħħa l-multiplikazzjoni b'3.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

Iddividi \frac{10}{3}, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb \frac{5}{3}. Imbagħad żid il-kwadru ta' \frac{5}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Ikkwadra \frac{5}{3} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Żid \frac{8}{3} ma' \frac{25}{9} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Fattur n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Issimplifika.

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Naqqas \frac{5}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$