Issolvi 3z^2+9z+6=0

$$3 { z }^{ 2 } +9z+6=0$$

Solvi għal z

$$z=-2$$

$$z=-1$$

Passi li jużaw il-Fatturar bl-Iggruppar

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$z^{2}+3z+2=0$$

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffatura n-naħa tax-xellug bl-iggruppar. L-ewwel, in-naħa tax-xellug jeħtieġ tinkiteb mill-ġdid bħala z^{2}+az+bz+2. Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

Minħabba li ab huwa pożittiv, a u b għandhom l-istess sinjal. Minħabba li a+b huwa pożittiv, a u b huma t-tnejn pożittivi. L-uniku par bħal dawn huwa s-soluzzjoni tas-sistema.

$$a=1 b=2$$

Erġa' ikteb z^{2}+3z+2 bħala \left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right).

$$\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)$$

Fattur z fl-ewwel u 2 fit-tieni grupp.

$$z\left(z+1\right)+2\left(z+1\right)$$

Iffattura 'l barra t-terminu komuni z+1 bl-użu ta' propjetà distributtiva.

$$\left(z+1\right)\left(z+2\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi z+1=0 u z+2=0.

$$z=-1 z=-2$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 3 għal a, 9 għal b, u 6 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Ikkwadra 9.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Immultiplika -4 b'3.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

Immultiplika -12 b'6.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

Żid 81 ma' -72.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 9.

$$z=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

Immultiplika 2 b'3.

$$z=\frac{-9±3}{6}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni z=\frac{-9±3}{6} fejn ± hija plus. Żid -9 ma' 3.

$$z=-\frac{6}{6}$$

Iddividi -6 b'6.

$$z=-1$$

Issa solvi l-ekwazzjoni z=\frac{-9±3}{6} fejn ± hija minus. Naqqas 3 minn -9.

$$z=-\frac{12}{6}$$

Iddividi -12 b'6.

$$z=-2$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$z=-1 z=-2$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3z^{2}+9z+6-6=-6$$

Jekk tnaqqas 6 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$3z^{2}+9z=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$\frac{3z^{2}+9z}{3}=-\frac{6}{3}$$

Meta tiddividi b'3 titneħħa l-multiplikazzjoni b'3.

$$z^{2}+\frac{9}{3}z=-\frac{6}{3}$$

Iddividi 9 b'3.

$$z^{2}+3z=-\frac{6}{3}$$

Iddividi -6 b'3.

$$z^{2}+3z=-2$$

Iddividi 3, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb \frac{3}{2}. Imbagħad żid il-kwadru ta' \frac{3}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ikkwadra \frac{3}{2} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Żid -2 ma' \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Fattur z^{2}+3z+\frac{9}{4}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Issimplifika.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Naqqas \frac{3}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$z=-1 z=-2$$