Issolvi 3x^2-4x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -4x-9=0$$

Solvi għal x

$$x = \frac{\sqrt{31} + 2}{3} \approx 2.522588121$$

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}\approx -1.189254788$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 3 għal a, -4 għal b, u -9 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Ikkwadra -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Immultiplika -4 b'3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Immultiplika -12 b'-9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+108}}{2\times 3}$$

Żid 16 ma' 108.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{124}}{2\times 3}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 124.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

L-oppost ta' -4 huwa 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

Immultiplika 2 b'3.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} fejn ± hija plus. Żid 4 ma' 2\sqrt{31}.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{6}$$

Iddividi 4+2\sqrt{31} b'6.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} fejn ± hija minus. Naqqas 2\sqrt{31} minn 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{31}}{6}$$

Iddividi 4-2\sqrt{31} b'6.

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Żid 9 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x^{2}-4x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Jekk tnaqqas -9 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$3x^{2}-4x=-\left(-9\right)$$

Naqqas -9 minn 0.

$$3x^{2}-4x=9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=\frac{9}{3}$$

Meta tiddividi b'3 titneħħa l-multiplikazzjoni b'3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{9}{3}$$

Iddividi 9 b'3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=3$$

Iddividi -\frac{4}{3}, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb -\frac{2}{3}. Imbagħad żid il-kwadru ta' -\frac{2}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Ikkwadra -\frac{2}{3} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=3+\frac{4}{9}$$

Żid 3 ma' \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{31}{9}$$

Fattur x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{31}{9}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{9}}$$

Issimplifika.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{31}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{31}}{3}$$

Żid \frac{2}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$