Issolvi 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Solvi għal x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=12$$

Passi li jużaw il-Fatturar bl-Iggruppar

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffatura n-naħa tax-xellug bl-iggruppar. L-ewwel, in-naħa tax-xellug jeħtieġ tinkiteb mill-ġdid bħala 3x^{2}+ax+bx-60. Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Minħabba li ab huwa negattiv, a u b għandhom sinjali opposti. Minħabba li a+b huwa negattiv, in-numru negattiv għandu l-valur assolut akbar mill-pożittiv. Elenka l-pari kollha bħal dawn li jagħtu prodott -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Ikkalkula s-somma għal kull par.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Is-soluzzjoni hija l-par li jagħti s-somma -31.

$$a=-36 b=5$$

Erġa' ikteb 3x^{2}-31x-60 bħala \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Fattur 3x fl-ewwel u 5 fit-tieni grupp.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Iffattura 'l barra t-terminu komuni x-12 bl-użu ta' propjetà distributtiva.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi x-12=0 u 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 3 għal a, -31 għal b, u -60 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Ikkwadra -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Immultiplika -4 b'3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Immultiplika -12 b'-60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Żid 961 ma' 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

L-oppost ta' -31 huwa 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Immultiplika 2 b'3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{31±41}{6} fejn ± hija plus. Żid 31 ma' 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Iddividi 72 b'6.

$$x=12$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{31±41}{6} fejn ± hija minus. Naqqas 41 minn 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{-10}{6} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Żid 60 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Jekk tnaqqas -60 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Naqqas -60 minn 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

Meta tiddividi b'3 titneħħa l-multiplikazzjoni b'3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Iddividi 60 b'3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Iddividi -\frac{31}{3}, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb -\frac{31}{6}. Imbagħad żid il-kwadru ta' -\frac{31}{6} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Ikkwadra -\frac{31}{6} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Żid 20 ma' \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Fattur x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Issimplifika.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Żid \frac{31}{6} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$