Issolvi 24k^2+50k+24=0

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

Solvi għal k

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0.75$$

Passi li jużaw il-Fatturar bl-Iggruppar

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffatura n-naħa tax-xellug bl-iggruppar. L-ewwel, in-naħa tax-xellug jeħtieġ tinkiteb mill-ġdid bħala 12k^{2}+ak+bk+12. Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

Minħabba li ab huwa pożittiv, a u b għandhom l-istess sinjal. Minħabba li a+b huwa pożittiv, a u b huma t-tnejn pożittivi. Elenka l-pari kollha bħal dawn li jagħtu prodott 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Ikkalkula s-somma għal kull par.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Is-soluzzjoni hija l-par li jagħti s-somma 25.

$$a=9 b=16$$

Erġa' ikteb 12k^{2}+25k+12 bħala \left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right).

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

Fattur 3k fl-ewwel u 4 fit-tieni grupp.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

Iffattura 'l barra t-terminu komuni 4k+3 bl-użu ta' propjetà distributtiva.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi 4k+3=0 u 3k+4=0.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 24 għal a, 50 għal b, u 24 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Ikkwadra 50.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Immultiplika -4 b'24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

Immultiplika -96 b'24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

Żid 2500 ma' -2304.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 196.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

Immultiplika 2 b'24.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni k=\frac{-50±14}{48} fejn ± hija plus. Żid -50 ma' 14.

$$k=-\frac{36}{48}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{-36}{48} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 12.

$$k=-\frac{3}{4}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni k=\frac{-50±14}{48} fejn ± hija minus. Naqqas 14 minn -50.

$$k=-\frac{64}{48}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{-64}{48} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 16.

$$k=-\frac{4}{3}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Naqqas 24 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

Jekk tnaqqas 24 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$24k^{2}+50k=-24$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'24.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

Meta tiddividi b'24 titneħħa l-multiplikazzjoni b'24.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{50}{24} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 2.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

Iddividi -24 b'24.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

Iddividi \frac{25}{12}, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb \frac{25}{24}. Imbagħad żid il-kwadru ta' \frac{25}{24} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Ikkwadra \frac{25}{24} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

Żid -1 ma' \frac{625}{576}.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

Fattur k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

Issimplifika.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

Naqqas \frac{25}{24} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$