Issolvi 23x^2+11x+9=0

$$23 x ^ { 2 } + 11 x + 9 = 0$$

Solvi għal x (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}\approx -0.239130435+0.578031991i$$

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}\approx -0.239130435-0.578031991i$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 23 għal a, 11 għal b, u 9 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

Ikkwadra 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

Immultiplika -4 b'23.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-92\times 9}}{2\times 23}$$

Immultiplika -92 b'9.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-828}}{2\times 23}$$

Żid 121 ma' -828.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-707}}{2\times 23}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' -707.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{2\times 23}$$

Immultiplika 2 b'23.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46} fejn ± hija plus. Żid -11 ma' i\sqrt{707}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46} fejn ± hija minus. Naqqas i\sqrt{707} minn -11.

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$23x^{2}+11x+9-9=-9$$

Jekk tnaqqas 9 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$23x^{2}+11x=-9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'23.

$$\frac{23x^{2}+11x}{23}=-\frac{9}{23}$$

Meta tiddividi b'23 titneħħa l-multiplikazzjoni b'23.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x=-\frac{9}{23}$$

Iddividi \frac{11}{23}, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb \frac{11}{46}. Imbagħad żid il-kwadru ta' \frac{11}{46} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{9}{23}+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}$$

Ikkwadra \frac{11}{46} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{9}{23}+\frac{121}{2116}$$

Żid -\frac{9}{23} ma' \frac{121}{2116} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{707}{2116}$$

Fattur x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{707}{2116}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{707}{2116}}$$

Issimplifika.

$$x+\frac{11}{46}=\frac{\sqrt{707}i}{46} x+\frac{11}{46}=-\frac{\sqrt{707}i}{46}$$

Naqqas \frac{11}{46} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$