Issolvi 2x-3y=-1text{and}y=x-1

$$2 x - 3 y = - 1 \text { and } y = x - 1$$

Solvi għal x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$y-x=-1$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-3y=-1,-x+y=-1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-3y=-1$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=3y-1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-1\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'3y-1.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}$$

Issostitwixxi \frac{3y-1}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -x+y=-1.

$$-\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)+y=-1$$

Immultiplika -1 b'\frac{3y-1}{2}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}+y=-1$$

Żid -\frac{3y}{2} ma' y.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=-1$$

Naqqas \frac{1}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{3}{2}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{2}\times 3-\frac{1}{2}$$

Immultiplika \frac{3}{2} b'3.

$$x=\frac{9-1}{2}$$

Żid -\frac{1}{2} ma' \frac{9}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$y-x=-1$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-3y=-1,-x+y=-1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-1\right)-3\left(-1\right)\\-\left(-1\right)-2\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=4,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$y-x=-1$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-3y=-1,-x+y=-1$$

Biex tagħmel 2x u -x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$-2x-\left(-3y\right)=-\left(-1\right),2\left(-1\right)x+2y=2\left(-1\right)$$

Issimplifika.

$$-2x+3y=1,-2x+2y=-2$$

Naqqas -2x+2y=-2 minn -2x+3y=1 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-2x+2x+3y-2y=1+2$$

Żid -2x ma' 2x. -2x u 2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3y-2y=1+2$$

Żid 3y ma' -2y.

$$y=1+2$$

Żid 1 ma' 2.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'-x+y=-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-x+3=-1$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=3$$