Issolvi 2x-3y+10=0quadtext{KaHa}5x-y+4=0

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { KaHa } 5 x - y + 4 = 0$$

Solvi għal x, y

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0.153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3.230769231$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-3y+10=0$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x-3y=-10$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=3y-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

Issostitwixxi \frac{3y}{2}-5 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x-y+4=0.

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

Immultiplika 5 b'\frac{3y}{2}-5.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

Żid \frac{15y}{2} ma' -y.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

Żid -25 ma' 4.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

Żid 21 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{13}{2}y=21$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{13}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{42}{13}$$

Issostitwixxi \frac{42}{13} għal y f'x=\frac{3}{2}y-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

Immultiplika \frac{3}{2} b'\frac{42}{13} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

Żid -5 ma' \frac{63}{13}.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Biex tagħmel 2x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

Issimplifika.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

Naqqas 10x-2y+8=0 minn 10x-15y+50=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

Żid 10x ma' -10x. 10x u -10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-15y+2y+50-8=0$$

Żid -15y ma' 2y.

$$-13y+50-8=0$$

Żid 50 ma' -8.

$$-13y+42=0$$

Naqqas 42 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-13y=-42$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-13.

$$y=\frac{42}{13}$$

Issostitwixxi \frac{42}{13} għal y f'5x-y+4=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

Żid -\frac{42}{13} ma' 4.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

Naqqas \frac{10}{13} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$