Issolvi 2x^2-2x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Solvi għal x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1.366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0.366025404$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 2 għal a, -2 għal b, u -1 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Ikkwadra -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Immultiplika -4 b'2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Immultiplika -8 b'-1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Żid 4 ma' 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

L-oppost ta' -2 huwa 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Immultiplika 2 b'2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} fejn ± hija plus. Żid 2 ma' 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

Iddividi 2+2\sqrt{3} b'4.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} fejn ± hija minus. Naqqas 2\sqrt{3} minn 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

Iddividi 2-2\sqrt{3} b'4.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Żid 1 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Jekk tnaqqas -1 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Naqqas -1 minn 0.

$$2x^{2}-2x=1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

Meta tiddividi b'2 titneħħa l-multiplikazzjoni b'2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Iddividi -2 b'2.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Iddividi -1, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb -\frac{1}{2}. Imbagħad żid il-kwadru ta' -\frac{1}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ikkwadra -\frac{1}{2} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Żid \frac{1}{2} ma' \frac{1}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Fattur x^{2}-x+\frac{1}{4}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Issimplifika.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Żid \frac{1}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$