Issolvi 2k^2+9k=-7

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

Solvi għal k

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$k=-1$$

Passi li jużaw il-Fatturar bl-Iggruppar

Żid 7 maż-żewġ naħat.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffatura n-naħa tax-xellug bl-iggruppar. L-ewwel, in-naħa tax-xellug jeħtieġ tinkiteb mill-ġdid bħala 2k^{2}+ak+bk+7. Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

Minħabba li ab huwa pożittiv, a u b għandhom l-istess sinjal. Minħabba li a+b huwa pożittiv, a u b huma t-tnejn pożittivi. Elenka l-pari kollha bħal dawn li jagħtu prodott 14.

$$1,14 2,7$$

Ikkalkula s-somma għal kull par.

$$1+14=15 2+7=9$$

Is-soluzzjoni hija l-par li jagħti s-somma 9.

$$a=2 b=7$$

Erġa' ikteb 2k^{2}+9k+7 bħala \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right).

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

Fattur 2k fl-ewwel u 7 fit-tieni grupp.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

Iffattura 'l barra t-terminu komuni k+1 bl-użu ta' propjetà distributtiva.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi k+1=0 u 2k+7=0.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Żid 7 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Jekk tnaqqas -7 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

Naqqas -7 minn 0.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 2 għal a, 9 għal b, u 7 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Ikkwadra 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Immultiplika -4 b'2.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

Immultiplika -8 b'7.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

Żid 81 ma' -56.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 25.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

Immultiplika 2 b'2.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni k=\frac{-9±5}{4} fejn ± hija plus. Żid -9 ma' 5.

$$k=-\frac{4}{4}$$

Iddividi -4 b'4.

$$k=-1$$

Issa solvi l-ekwazzjoni k=\frac{-9±5}{4} fejn ± hija minus. Naqqas 5 minn -9.

$$k=-\frac{14}{4}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{-14}{4} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 2.

$$k=-\frac{7}{2}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

Meta tiddividi b'2 titneħħa l-multiplikazzjoni b'2.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

Iddividi \frac{9}{2}, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb \frac{9}{4}. Imbagħad żid il-kwadru ta' \frac{9}{4} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Ikkwadra \frac{9}{4} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Żid -\frac{7}{2} ma' \frac{81}{16} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

Fattur k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Issimplifika.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

Naqqas \frac{9}{4} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$