Issolvi 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Solvi għal x

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Passi li jużaw il-Fatturar bl-Iggruppar

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffatura n-naħa tax-xellug bl-iggruppar. L-ewwel, in-naħa tax-xellug jeħtieġ tinkiteb mill-ġdid bħala 15x^{2}+ax+bx+2. Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Minħabba li ab huwa pożittiv, a u b għandhom l-istess sinjal. Minħabba li a+b huwa pożittiv, a u b huma t-tnejn pożittivi. Elenka l-pari kollha bħal dawn li jagħtu prodott 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Ikkalkula s-somma għal kull par.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Is-soluzzjoni hija l-par li jagħti s-somma 11.

$$a=5 b=6$$

Erġa' ikteb 15x^{2}+11x+2 bħala \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Fattur 5x fl-ewwel u 2 fit-tieni grupp.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Iffattura 'l barra t-terminu komuni 3x+1 bl-użu ta' propjetà distributtiva.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi 3x+1=0 u 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 15 għal a, 11 għal b, u 2 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Ikkwadra 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Immultiplika -4 b'15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Immultiplika -60 b'2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Żid 121 ma' -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Immultiplika 2 b'15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{-11±1}{30} fejn ± hija plus. Żid -11 ma' 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{-10}{30} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{-11±1}{30} fejn ± hija minus. Naqqas 1 minn -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{-12}{30} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

Jekk tnaqqas 2 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Meta tiddividi b'15 titneħħa l-multiplikazzjoni b'15.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Iddividi \frac{11}{15}, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb \frac{11}{30}. Imbagħad żid il-kwadru ta' \frac{11}{30} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Ikkwadra \frac{11}{30} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Żid -\frac{2}{15} ma' \frac{121}{900} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Fattur x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Issimplifika.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Naqqas \frac{11}{30} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$