Issolvi 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

Solvi għal x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

Passi li jużaw il-Fatturar bl-Iggruppar

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffatura n-naħa tax-xellug bl-iggruppar. L-ewwel, in-naħa tax-xellug jeħtieġ tinkiteb mill-ġdid bħala 15x^{2}+ax+bx-4. Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Minħabba li ab huwa negattiv, a u b għandhom sinjali opposti. Minħabba li a+b huwa pożittiv, in-numru pożittiv għandu l-valur assolut akbar min-negattiv. Elenka l-pari kollha bħal dawn li jagħtu prodott -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Ikkalkula s-somma għal kull par.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Is-soluzzjoni hija l-par li jagħti s-somma 4.

$$a=-6 b=10$$

Erġa' ikteb 15x^{2}+4x-4 bħala \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

Fattur 3x fl-ewwel u 2 fit-tieni grupp.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Iffattura 'l barra t-terminu komuni 5x-2 bl-użu ta' propjetà distributtiva.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi 5x-2=0 u 3x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 15 għal a, 4 għal b, u -4 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Ikkwadra 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Immultiplika -4 b'15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Immultiplika -60 b'-4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Żid 16 ma' 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

Immultiplika 2 b'15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{-4±16}{30} fejn ± hija plus. Żid -4 ma' 16.

$$x=\frac{12}{30}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{12}{30} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 6.

$$x=\frac{2}{5}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{-4±16}{30} fejn ± hija minus. Naqqas 16 minn -4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{-20}{30} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Żid 4 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Jekk tnaqqas -4 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

Naqqas -4 minn 0.

$$15x^{2}+4x=4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

Meta tiddividi b'15 titneħħa l-multiplikazzjoni b'15.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Iddividi \frac{4}{15}, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb \frac{2}{15}. Imbagħad żid il-kwadru ta' \frac{2}{15} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Ikkwadra \frac{2}{15} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Żid \frac{4}{15} ma' \frac{4}{225} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Fattur x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Issimplifika.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Naqqas \frac{2}{15} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$