Issolvi 12345x^2+54321x-99999=0

$$12345 x ^ { 2 } + 54321 x - 99999 = 0$$

Solvi għal x

$$x = \frac{\sqrt{876524629} - 18107}{8230} \approx 1.397224621$$

$$x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}\approx -5.797467635$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$12345x^{2}+54321x-99999=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 12345 għal a, 54321 għal b, u -99999 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{54321^{2}-4\times 12345\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

Ikkwadra 54321.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041-4\times 12345\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

Immultiplika -4 b'12345.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041-49380\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

Immultiplika -49380 b'-99999.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041+4937950620}}{2\times 12345}$$

Żid 2950771041 ma' 4937950620.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{7888721661}}{2\times 12345}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 7888721661.

$$x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{2\times 12345}$$

Immultiplika 2 b'12345.

$$x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690} fejn ± hija plus. Żid -54321 ma' 3\sqrt{876524629}.

$$x=\frac{3\sqrt{876524629}-54321}{24690}$$

Iddividi -54321+3\sqrt{876524629} b'24690.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690} fejn ± hija minus. Naqqas 3\sqrt{876524629} minn -54321.

$$x=\frac{-3\sqrt{876524629}-54321}{24690}$$

Iddividi -54321-3\sqrt{876524629} b'24690.

$$x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230} x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$12345x^{2}+54321x-99999=0$$

Żid 99999 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$12345x^{2}+54321x-99999-\left(-99999\right)=-\left(-99999\right)$$

Jekk tnaqqas -99999 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$12345x^{2}+54321x=-\left(-99999\right)$$

Naqqas -99999 minn 0.

$$12345x^{2}+54321x=99999$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'12345.

$$\frac{12345x^{2}+54321x}{12345}=\frac{99999}{12345}$$

Meta tiddividi b'12345 titneħħa l-multiplikazzjoni b'12345.

$$x^{2}+\frac{54321}{12345}x=\frac{99999}{12345}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{54321}{12345} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 3.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x=\frac{99999}{12345}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{99999}{12345} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 3.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x=\frac{33333}{4115}$$

Iddividi \frac{18107}{4115}, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb \frac{18107}{8230}. Imbagħad żid il-kwadru ta' \frac{18107}{8230} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\left(\frac{18107}{8230}\right)^{2}=\frac{33333}{4115}+\left(\frac{18107}{8230}\right)^{2}$$

Ikkwadra \frac{18107}{8230} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}=\frac{33333}{4115}+\frac{327863449}{67732900}$$

Żid \frac{33333}{4115} ma' \frac{327863449}{67732900} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}=\frac{876524629}{67732900}$$

Fattur x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{18107}{8230}\right)^{2}=\frac{876524629}{67732900}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{18107}{8230}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{876524629}{67732900}}$$

Issimplifika.

$$x+\frac{18107}{8230}=\frac{\sqrt{876524629}}{8230} x+\frac{18107}{8230}=-\frac{\sqrt{876524629}}{8230}$$

Naqqas \frac{18107}{8230} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230} x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$