Issolvi -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Solvi għal x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2.5-2.34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2.5+2.34520788i$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi -4 għal a, 20 għal b, u -47 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Ikkwadra 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Immultiplika -4 b'-4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Immultiplika 16 b'-47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Żid 400 ma' -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' -352.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Immultiplika 2 b'-4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} fejn ± hija plus. Żid -20 ma' 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

Iddividi -20+4i\sqrt{22} b'-8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} fejn ± hija minus. Naqqas 4i\sqrt{22} minn -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

Iddividi -20-4i\sqrt{22} b'-8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Żid 47 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

Jekk tnaqqas -47 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

Naqqas -47 minn 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

Meta tiddividi b'-4 titneħħa l-multiplikazzjoni b'-4.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

Iddividi 20 b'-4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

Iddividi 47 b'-4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Iddividi -5, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb -\frac{5}{2}. Imbagħad żid il-kwadru ta' -\frac{5}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ikkwadra -\frac{5}{2} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Żid -\frac{47}{4} ma' \frac{25}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Fattur x^{2}-5x+\frac{25}{4}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Issimplifika.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Żid \frac{5}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$