Issolvi y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

Solvi għal y

$$y=6$$

$$y=9$$

Passi li jużaw il-Fatturar

Żid 54 maż-żewġ naħat.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffattura y^{2}-15y+54 billi tuża l-formula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=-15 ab=54$$

Minħabba li ab huwa pożittiv, a u b għandhom l-istess sinjal. Minħabba li a+b huwa negattiv, a u b huma t-tnejn negattiv. Elenka l-pari kollha bħal dawn li jagħtu prodott 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Ikkalkula s-somma għal kull par.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Is-soluzzjoni hija l-par li jagħti s-somma -15.

$$a=-9 b=-6$$

Erġa' ikteb l-espressjoni ffatturata \left(y+a\right)\left(y+b\right) billi tuża l-valuri miksuba.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi y-9=0 u y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Passi li jużaw il-Fatturar bl-Iggruppar

Żid 54 maż-żewġ naħat.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffatura n-naħa tax-xellug bl-iggruppar. L-ewwel, in-naħa tax-xellug jeħtieġ tinkiteb mill-ġdid bħala y^{2}+ay+by+54. Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

Minħabba li ab huwa pożittiv, a u b għandhom l-istess sinjal. Minħabba li a+b huwa negattiv, a u b huma t-tnejn negattiv. Elenka l-pari kollha bħal dawn li jagħtu prodott 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Ikkalkula s-somma għal kull par.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Is-soluzzjoni hija l-par li jagħti s-somma -15.

$$a=-9 b=-6$$

Erġa' ikteb y^{2}-15y+54 bħala \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right).

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

Fattur y fl-ewwel u -6 fit-tieni grupp.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

Iffattura 'l barra t-terminu komuni y-9 bl-użu ta' propjetà distributtiva.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi y-9=0 u y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$y^{2}-15y=-54$$

Żid 54 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

Jekk tnaqqas -54 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

Naqqas -54 minn 0.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 1 għal a, -15 għal b, u 54 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

Ikkwadra -15.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Immultiplika -4 b'54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

Żid 225 ma' -216.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 9.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

L-oppost ta' -15 huwa 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni y=\frac{15±3}{2} fejn ± hija plus. Żid 15 ma' 3.

$$y=\frac{18}{2}$$

Iddividi 18 b'2.

$$y=9$$

Issa solvi l-ekwazzjoni y=\frac{15±3}{2} fejn ± hija minus. Naqqas 3 minn 15.

$$y=\frac{12}{2}$$

Iddividi 12 b'2.

$$y=6$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$y=9 y=6$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-15y=-54$$

Iddividi -15, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb -\frac{15}{2}. Imbagħad żid il-kwadru ta' -\frac{15}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Ikkwadra -\frac{15}{2} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Żid -54 ma' \frac{225}{4}.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Fattur y^{2}-15y+\frac{225}{4}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Issimplifika.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Żid \frac{15}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=9 y=6$$