Issolvi {left(-2sqrt{1/4-x^2}x+2right)}^2+z^2={left(4-z+2sqrt{1/4-x^2}x-2right)}^2

$${ \left(-2 \sqrt{ \frac{ 1 }{ 4- { x }^{ 2 } } } x+2 \right) }^{ 2 } + { z }^{ 2 } = { \left(4-z+2 \sqrt{ \frac{ 1 }{ 4- { x }^{ 2 } } } x-2 \right) }^{ 2 }$$

Solvi għal z

$$z=\frac{4x}{\sqrt{4-x^{2}}+x}$$

$$x\neq -\sqrt{2}\text{ and }|x|<2$$

Passi biex Issolvi l-Ekwazzjoni Lineari

Uża teorema binomjali \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} biex tespandi \left(-2\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x+2\right)^{2}.

$$4\left(\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}\right)^{2}x^{2}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x+4+z^{2}=\left(4-z+2\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x-2\right)^{2}$$

Ikkalkula \sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}} bil-power ta' 2 u tikseb \frac{1}{4-x^{2}}.

$$4\times \frac{1}{4-x^{2}}x^{2}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x+4+z^{2}=\left(4-z+2\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x-2\right)^{2}$$

Esprimi 4\times \frac{1}{4-x^{2}} bħala frazzjoni waħda.

$$\frac{4}{4-x^{2}}x^{2}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x+4+z^{2}=\left(4-z+2\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x-2\right)^{2}$$

Esprimi \frac{4}{4-x^{2}}x^{2} bħala frazzjoni waħda.

$$\frac{4x^{2}}{4-x^{2}}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x+4+z^{2}=\left(4-z+2\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x-2\right)^{2}$$

Iffattura 4-x^{2}.

$$\frac{4x^{2}}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x+4+z^{2}=\left(4-z+2\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x-2\right)^{2}$$

Biex iżżid jew tnaqqas l-espressjonijiet, espandihom biex id-denominaturi tagħhom ikunu l-istess. Immultiplika 4 b'\frac{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}.

$$\frac{4x^{2}}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x+\frac{4\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}+z^{2}=\left(4-z+2\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x-2\right)^{2}$$

Billi \frac{4x^{2}}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)} u \frac{4\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)} għandhom l-istess denominatur, żidhom billi żżid in-numeraturi tagħhom.

$$\frac{4x^{2}+4\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x+z^{2}=\left(4-z+2\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x-2\right)^{2}$$

Agħmel il-multiplikazzjonijiet fi 4x^{2}+4\left(x-2\right)\left(-x-2\right).

$$\frac{4x^{2}-4x^{2}-8x+8x+16}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x+z^{2}=\left(4-z+2\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x-2\right)^{2}$$

Ikkombina termini simili f'4x^{2}-4x^{2}-8x+8x+16.

$$\frac{16}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x+z^{2}=\left(4-z+2\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x-2\right)^{2}$$

Biex iżżid jew tnaqqas l-espressjonijiet, espandihom biex id-denominaturi tagħhom ikunu l-istess. Immultiplika z^{2} b'\frac{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}.

$$\frac{16}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x+\frac{z^{2}\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}=\left(4-z+2\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x-2\right)^{2}$$

Billi \frac{16}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)} u \frac{z^{2}\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)} għandhom l-istess denominatur, żidhom billi żżid in-numeraturi tagħhom.

$$\frac{16+z^{2}\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x=\left(4-z+2\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x-2\right)^{2}$$

Agħmel il-multiplikazzjonijiet fi 16+z^{2}\left(x-2\right)\left(-x-2\right).

$$\frac{16-z^{2}x^{2}-2z^{2}x+2z^{2}x+4z^{2}}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x=\left(4-z+2\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x-2\right)^{2}$$

Ikkombina termini simili f'16-z^{2}x^{2}-2z^{2}x+2z^{2}x+4z^{2}.

$$\frac{4z^{2}-z^{2}x^{2}+16}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x=\left(4-z+2\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x-2\right)^{2}$$

Naqqas 2 minn 4 biex tikseb 2.

$$\frac{4z^{2}-z^{2}x^{2}+16}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x=\left(2-z+2\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x\right)^{2}$$

Ikkwadra 2-z+2\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x.

$$\frac{4z^{2}-z^{2}x^{2}+16}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x=z^{2}-4\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}xz-4z+4\left(\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}\right)^{2}x^{2}+8\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}x+4$$

Ikkalkula \sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}} bil-power ta' 2 u tikseb \frac{1}{-x^{2}+4}.

$$\frac{4z^{2}-z^{2}x^{2}+16}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x=z^{2}-4\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}xz-4z+4\times \frac{1}{-x^{2}+4}x^{2}+8\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}x+4$$

Esprimi 4\times \frac{1}{-x^{2}+4} bħala frazzjoni waħda.

$$\frac{4z^{2}-z^{2}x^{2}+16}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x=z^{2}-4\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}xz-4z+\frac{4}{-x^{2}+4}x^{2}+8\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}x+4$$

Esprimi \frac{4}{-x^{2}+4}x^{2} bħala frazzjoni waħda.

$$\frac{4z^{2}-z^{2}x^{2}+16}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x=z^{2}-4\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}xz-4z+\frac{4x^{2}}{-x^{2}+4}+8\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}x+4$$

Iffattura -x^{2}+4.

$$\frac{4z^{2}-z^{2}x^{2}+16}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x=z^{2}-4z+4-4\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}xz+\frac{4x^{2}}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}+8\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}x$$

Biex iżżid jew tnaqqas l-espressjonijiet, espandihom biex id-denominaturi tagħhom ikunu l-istess. Immultiplika z^{2}-4z+4 b'\frac{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}.

$$\frac{4z^{2}-z^{2}x^{2}+16}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x=\frac{\left(z^{2}-4z+4\right)\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}-4\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}xz+\frac{4x^{2}}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}+8\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}x$$

Billi \frac{\left(z^{2}-4z+4\right)\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)} u \frac{4x^{2}}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)} għandhom l-istess denominatur, żidhom billi żżid in-numeraturi tagħhom.

$$\frac{4z^{2}-z^{2}x^{2}+16}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x=\frac{\left(z^{2}-4z+4\right)\left(x-2\right)\left(-x-2\right)+4x^{2}}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}-4\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}xz+8\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}x$$

Agħmel il-multiplikazzjonijiet fi \left(z^{2}-4z+4\right)\left(x-2\right)\left(-x-2\right)+4x^{2}.

$$\frac{4z^{2}-z^{2}x^{2}+16}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x=\frac{4z^{2}-z^{2}x^{2}-16z+4zx^{2}-4x^{2}+16+4x^{2}}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}-4\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}xz+8\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}x$$

Ikkombina termini simili f'4z^{2}-z^{2}x^{2}-16z+4zx^{2}-4x^{2}+16+4x^{2}.

$$\frac{4z^{2}-z^{2}x^{2}+16}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x=\frac{16-z^{2}x^{2}+4z^{2}+4zx^{2}-16z}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}-4\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}xz+8\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}x$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika x-2 b'-x-2 u kkombina termini simili.

$$\frac{4z^{2}-z^{2}x^{2}+16}{-x^{2}+4}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x=\frac{16-z^{2}x^{2}+4z^{2}+4zx^{2}-16z}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}-4\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}xz+8\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}x$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika x-2 b'-x-2 u kkombina termini simili.

$$\frac{4z^{2}-z^{2}x^{2}+16}{-x^{2}+4}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x=\frac{16-z^{2}x^{2}+4z^{2}+4zx^{2}-16z}{-x^{2}+4}-4\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}xz+8\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}x$$

Naqqas \frac{16-z^{2}x^{2}+4z^{2}+4zx^{2}-16z}{-x^{2}+4} miż-żewġ naħat.

$$\frac{4z^{2}-z^{2}x^{2}+16}{-x^{2}+4}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x-\frac{16-z^{2}x^{2}+4z^{2}+4zx^{2}-16z}{-x^{2}+4}=-4\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}xz+8\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}x$$

Billi \frac{4z^{2}-z^{2}x^{2}+16}{-x^{2}+4} u \frac{16-z^{2}x^{2}+4z^{2}+4zx^{2}-16z}{-x^{2}+4} għandhom l-istess denominatur, naqqashom billi tnaqqas in-numeraturi tagħhom.

$$\frac{4z^{2}-z^{2}x^{2}+16-\left(16-z^{2}x^{2}+4z^{2}+4zx^{2}-16z\right)}{-x^{2}+4}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x=-4\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}xz+8\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}x$$

Agħmel il-multiplikazzjonijiet fi 4z^{2}-z^{2}x^{2}+16-\left(16-z^{2}x^{2}+4z^{2}+4zx^{2}-16z\right).

$$\frac{4z^{2}-z^{2}x^{2}+16-16+z^{2}x^{2}-4z^{2}-4zx^{2}+16z}{-x^{2}+4}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x=-4\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}xz+8\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}x$$

Ikkombina termini simili f'4z^{2}-z^{2}x^{2}+16-16+z^{2}x^{2}-4z^{2}-4zx^{2}+16z.

$$\frac{16z-4zx^{2}}{-x^{2}+4}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x=-4\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}xz+8\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}x$$

Iffattura l-espressjonijiet li mhumiex diġà fatturati f'\frac{16z-4zx^{2}}{-x^{2}+4}.

$$\frac{4z\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(-x-2\right)}-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x=-4\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}xz+8\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}x$$

Annulla \left(x-2\right)\left(-x-2\right) fin-numeratur u d-denominatur.

$$4z-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x=-4\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}xz+8\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}x$$

Żid 4\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}xz maż-żewġ naħat.

$$4z-8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x+4\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}xz=8\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}x$$

Żid 8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x maż-żewġ naħat.

$$4z+4\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}xz=8\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}x+8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x$$

Ikkombina 8\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}x u 8\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x biex tikseb 16\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}x.

$$4z+4\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}xz=16\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}x$$

Ikkombina t-termini kollha li fihom z.

$$\left(4+4\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}x\right)z=16\sqrt{\frac{1}{-x^{2}+4}}x$$

L-ekwazzjoni hija f'forma standard.

$$\left(4\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x+4\right)z=16\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4+4\sqrt{\left(-x^{2}+4\right)^{-1}}x.

$$\frac{\left(4\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x+4\right)z}{4\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x+4}=\frac{16x}{\sqrt{4-x^{2}}\left(4\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x+4\right)}$$

Meta tiddividi b'4+4\sqrt{\left(-x^{2}+4\right)^{-1}}x titneħħa l-multiplikazzjoni b'4+4\sqrt{\left(-x^{2}+4\right)^{-1}}x.

$$z=\frac{16x}{\sqrt{4-x^{2}}\left(4\sqrt{\frac{1}{4-x^{2}}}x+4\right)}$$

Iddividi \frac{16x}{\sqrt{4-x^{2}}} b'4+4\sqrt{\left(-x^{2}+4\right)^{-1}}x.

$$z=\frac{4x}{\sqrt{4-x^{2}}+x}$$

Solvi għal x

$$\left\{\begin{matrix}x=-\sqrt{\frac{2}{z^{2}-4z+8}}z\text{, }&z=0\text{ or }z>4\\x=\sqrt{\frac{2}{z^{2}-4z+8}}z\text{, }&z<4\end{matrix}\right.$$