Issolvi sqrt{x+3}+sqrt{x+6}=sqrt{x+11}

$$\sqrt{ x+3 } + \sqrt{ x+6 } = \sqrt{ x+11 }$$

Solvi għal x

$$x=-2$$

Passi tas-Soluzzjonijiet

Ikkwadra ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Uża teorema binomjali \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} biex tespandi \left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Ikkalkula \sqrt{x+3} bil-power ta' 2 u tikseb x+3.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Ikkalkula \sqrt{x+6} bil-power ta' 2 u tikseb x+6.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Ikkombina x u x biex tikseb 2x.

$$2x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Żid 3 u 6 biex tikseb 9.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Ikkalkula \sqrt{x+11} bil-power ta' 2 u tikseb x+11.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11$$

Naqqas 2x+9 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-\left(2x+9\right)$$

Biex issib l-oppost ta' 2x+9, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-2x-9$$

Ikkombina x u -2x biex tikseb -x.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+11-9$$

Naqqas 9 minn 11 biex tikseb 2.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+2$$

Ikkwadra ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Espandi \left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Ikkalkula 2 bil-power ta' 2 u tikseb 4.

$$4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Ikkalkula \sqrt{x+3} bil-power ta' 2 u tikseb x+3.

$$4\left(x+3\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Ikkalkula \sqrt{x+6} bil-power ta' 2 u tikseb x+6.

$$4\left(x+3\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'x+3.

$$\left(4x+12\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Applika l-propjetà distributtiva billi timmultiplika kull terminu ta' 4x+12 b'kull terminu ta' x+6.

$$4x^{2}+24x+12x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Ikkombina 24x u 12x biex tikseb 36x.

$$4x^{2}+36x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Uża teorema binomjali \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} biex tespandi \left(-x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+36x+72=x^{2}-4x+4$$

Naqqas x^{2} miż-żewġ naħat.

$$4x^{2}+36x+72-x^{2}=-4x+4$$

Ikkombina 4x^{2} u -x^{2} biex tikseb 3x^{2}.

$$3x^{2}+36x+72=-4x+4$$

Żid 4x maż-żewġ naħat.

$$3x^{2}+36x+72+4x=4$$

Ikkombina 36x u 4x biex tikseb 40x.

$$3x^{2}+40x+72=4$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat.

$$3x^{2}+40x+72-4=0$$

Naqqas 4 minn 72 biex tikseb 68.

$$3x^{2}+40x+68=0$$

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffatura n-naħa tax-xellug bl-iggruppar. L-ewwel, in-naħa tax-xellug jeħtieġ tinkiteb mill-ġdid bħala 3x^{2}+ax+bx+68. Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=40 ab=3\times 68=204$$

Minħabba li ab huwa pożittiv, a u b għandhom l-istess sinjal. Minħabba li a+b huwa pożittiv, a u b huma t-tnejn pożittivi. Elenka l-pari kollha bħal dawn li jagħtu prodott 204.

$$1,204 2,102 3,68 4,51 6,34 12,17$$

Ikkalkula s-somma għal kull par.

$$1+204=205 2+102=104 3+68=71 4+51=55 6+34=40 12+17=29$$

Is-soluzzjoni hija l-par li jagħti s-somma 40.

$$a=6 b=34$$

Erġa' ikteb 3x^{2}+40x+68 bħala \left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right).

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right)$$

Fattur 3x fl-ewwel u 34 fit-tieni grupp.

$$3x\left(x+2\right)+34\left(x+2\right)$$

Iffattura 'l barra t-terminu komuni x+2 bl-użu ta' propjetà distributtiva.

$$\left(x+2\right)\left(3x+34\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi x+2=0 u 3x+34=0.

$$x=-2 x=-\frac{34}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{34}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}. L-espressjoni \sqrt{-\frac{34}{3}+3} mhijiex definita minħabba li r-radicand ma jistax ikun negattiv.

$$\sqrt{-\frac{34}{3}+3}+\sqrt{-\frac{34}{3}+6}=\sqrt{-\frac{34}{3}+11}$$

Issostitwixxi -2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}.

$$\sqrt{-2+3}+\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+11}$$

Issimplifika. Il-valur x=-2 jissodisfa l-ekwazzjoni.

$$3=3$$

Ekwazzjoni \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} għandha soluzzjoni unika.

$$x=-2$$