Issolvi sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Solvi għal x

$$x=2$$

Passi tas-Soluzzjonijiet

Ikkwadra ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Uża teorema binomjali \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} biex tespandi \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Ikkalkula \sqrt{5x-1} bil-power ta' 2 u tikseb 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Ikkalkula \sqrt{3x-2} bil-power ta' 2 u tikseb 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Ikkombina 5x u 3x biex tikseb 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Naqqas 2 minn -1 biex tikseb -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Ikkalkula \sqrt{x-1} bil-power ta' 2 u tikseb x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Naqqas 8x-3 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

Biex issib l-oppost ta' 8x-3, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Ikkombina x u -8x biex tikseb -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

Żid -1 u 3 biex tikseb 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Ikkwadra ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Espandi \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Ikkalkula -2 bil-power ta' 2 u tikseb 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Ikkalkula \sqrt{5x-1} bil-power ta' 2 u tikseb 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Ikkalkula \sqrt{3x-2} bil-power ta' 2 u tikseb 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Applika l-propjetà distributtiva billi timmultiplika kull terminu ta' 20x-4 b'kull terminu ta' 3x-2.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Ikkombina -40x u -12x biex tikseb -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Uża teorema binomjali \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} biex tespandi \left(-7x+2\right)^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Naqqas 49x^{2} miż-żewġ naħat.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Ikkombina 60x^{2} u -49x^{2} biex tikseb 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Żid 28x maż-żewġ naħat.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Ikkombina -52x u 28x biex tikseb -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Naqqas 4 minn 8 biex tikseb 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffatura n-naħa tax-xellug bl-iggruppar. L-ewwel, in-naħa tax-xellug jeħtieġ tinkiteb mill-ġdid bħala 11x^{2}+ax+bx+4. Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Minħabba li ab huwa pożittiv, a u b għandhom l-istess sinjal. Minħabba li a+b huwa negattiv, a u b huma t-tnejn negattiv. Elenka l-pari kollha bħal dawn li jagħtu prodott 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Ikkalkula s-somma għal kull par.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Is-soluzzjoni hija l-par li jagħti s-somma -24.

$$a=-22 b=-2$$

Erġa' ikteb 11x^{2}-24x+4 bħala \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Fattur 11x fl-ewwel u -2 fit-tieni grupp.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Iffattura 'l barra t-terminu komuni x-2 bl-użu ta' propjetà distributtiva.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi x-2=0 u 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Issostitwixxi \frac{2}{11} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. L-espressjoni \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} mhijiex definita minħabba li r-radicand ma jistax ikun negattiv.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Issostitwixxi 2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Issimplifika. Il-valur x=2 jissodisfa l-ekwazzjoni.

$$1=1$$

Ekwazzjoni \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} għandha soluzzjoni unika.

$$x=2$$