Issolvi sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Solvi għal x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3.31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3.31662479i$$

Passi tas-Soluzzjonijiet

Naqqas -\sqrt{15+x^{2}} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Ikkwadra ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Ikkalkula \sqrt{25-x^{2}} bil-power ta' 2 u tikseb 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Uża teorema binomjali \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} biex tespandi \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Ikkalkula \sqrt{15+x^{2}} bil-power ta' 2 u tikseb 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Żid 16 u 15 biex tikseb 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Naqqas 31+x^{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Biex issib l-oppost ta' 31+x^{2}, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Naqqas 31 minn 25 biex tikseb -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Ikkombina -x^{2} u -x^{2} biex tikseb -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Ikkwadra ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Uża teorema binomjali \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} biex tespandi \left(-6-2x^{2}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Biex tgħolli l-qawwa ta' numru għal qawwa oħra, immultiplika l-esponenti. Immultiplika 2 u 2 biex tikseb 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Espandi \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Ikkalkula 8 bil-power ta' 2 u tikseb 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Ikkalkula \sqrt{15+x^{2}} bil-power ta' 2 u tikseb 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 64 b'15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Naqqas 960 miż-żewġ naħat.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Naqqas 960 minn 36 biex tikseb -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Naqqas 64x^{2} miż-żewġ naħat.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Ikkombina 24x^{2} u -64x^{2} biex tikseb -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Issostitwixxi t għal x^{2}.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti billi tuża l-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostitut 4 għal a, -40 għal b, u -924 għal c fil-formula kwadratika.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Agħmel il-kalkoli.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Solvi l-ekwazzjoni t=\frac{40±128}{8} meta ± hija plus u meta ± hija minus.

$$t=21 t=-11$$

Minħabba x=t^{2}, is-soluzzjonijiet huma miksuba billi jevalwa x=±\sqrt{t} għal kull t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Issostitwixxi -\sqrt{21} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Issimplifika. Il-valur x=-\sqrt{21} ma jissodisfax l-ekwazzjoni minħabba li n-naħa tax-xellug u n-naħa tal-lemin għandhom sinjali opposta.

$$-4=4$$

Issostitwixxi \sqrt{21} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Issimplifika. Il-valur x=\sqrt{21} ma jissodisfax l-ekwazzjoni minħabba li n-naħa tax-xellug u n-naħa tal-lemin għandhom sinjali opposta.

$$-4=4$$

Issostitwixxi -\sqrt{11}i għal x fl-ekwazzjoni l-oħra \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Issimplifika. Il-valur x=-\sqrt{11}i jissodisfa l-ekwazzjoni.

$$4=4$$

Issostitwixxi \sqrt{11}i għal x fl-ekwazzjoni l-oħra \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Issimplifika. Il-valur x=\sqrt{11}i jissodisfa l-ekwazzjoni.

$$4=4$$

Elenka s-soluzzjonijiet kollha ta’ \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$