Issolvi sqrt{2x-9}=5-sqrt{x-3}

$$\sqrt { 2 x - 9 } = 5 - \sqrt { x - 3 }$$

Solvi għal x

$$x=81-10\sqrt{53}\approx 8.198901107$$

Passi tas-Soluzzjonijiet

Ikkwadra ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(\sqrt{2x-9}\right)^{2}=\left(5-\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Ikkalkula \sqrt{2x-9} bil-power ta' 2 u tikseb 2x-9.

$$2x-9=\left(5-\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Uża teorema binomjali \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} biex tespandi \left(5-\sqrt{x-3}\right)^{2}.

$$2x-9=25-10\sqrt{x-3}+\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Ikkalkula \sqrt{x-3} bil-power ta' 2 u tikseb x-3.

$$2x-9=25-10\sqrt{x-3}+x-3$$

Naqqas 3 minn 25 biex tikseb 22.

$$2x-9=22-10\sqrt{x-3}+x$$

Naqqas 22+x miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x-9-\left(22+x\right)=-10\sqrt{x-3}$$

Biex issib l-oppost ta' 22+x, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$2x-9-22-x=-10\sqrt{x-3}$$

Naqqas 22 minn -9 biex tikseb -31.

$$2x-31-x=-10\sqrt{x-3}$$

Ikkombina 2x u -x biex tikseb x.

$$x-31=-10\sqrt{x-3}$$

Ikkwadra ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(x-31\right)^{2}=\left(-10\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Uża teorema binomjali \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} biex tespandi \left(x-31\right)^{2}.

$$x^{2}-62x+961=\left(-10\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Espandi \left(-10\sqrt{x-3}\right)^{2}.

$$x^{2}-62x+961=\left(-10\right)^{2}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Ikkalkula -10 bil-power ta' 2 u tikseb 100.

$$x^{2}-62x+961=100\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Ikkalkula \sqrt{x-3} bil-power ta' 2 u tikseb x-3.

$$x^{2}-62x+961=100\left(x-3\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 100 b'x-3.

$$x^{2}-62x+961=100x-300$$

Naqqas 100x miż-żewġ naħat.

$$x^{2}-62x+961-100x=-300$$

Ikkombina -62x u -100x biex tikseb -162x.

$$x^{2}-162x+961=-300$$

Żid 300 maż-żewġ naħat.

$$x^{2}-162x+961+300=0$$

Żid 961 u 300 biex tikseb 1261.

$$x^{2}-162x+1261=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 1 għal a, -162 għal b, u 1261 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{\left(-162\right)^{2}-4\times 1261}}{2}$$

Ikkwadra -162.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{26244-4\times 1261}}{2}$$

Immultiplika -4 b'1261.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{26244-5044}}{2}$$

Żid 26244 ma' -5044.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{21200}}{2}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 21200.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±20\sqrt{53}}{2}$$

L-oppost ta' -162 huwa 162.

$$x=\frac{162±20\sqrt{53}}{2}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{162±20\sqrt{53}}{2} fejn ± hija plus. Żid 162 ma' 20\sqrt{53}.

$$x=\frac{20\sqrt{53}+162}{2}$$

Iddividi 162+20\sqrt{53} b'2.

$$x=10\sqrt{53}+81$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{162±20\sqrt{53}}{2} fejn ± hija minus. Naqqas 20\sqrt{53} minn 162.

$$x=\frac{162-20\sqrt{53}}{2}$$

Iddividi 162-20\sqrt{53} b'2.

$$x=81-10\sqrt{53}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$x=10\sqrt{53}+81 x=81-10\sqrt{53}$$

Issostitwixxi 10\sqrt{53}+81 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra \sqrt{2x-9}=5-\sqrt{x-3}.

$$\sqrt{2\left(10\sqrt{53}+81\right)-9}=5-\sqrt{10\sqrt{53}+81-3}$$

Issimplifika. Il-valur x=10\sqrt{53}+81 ma jissodisfax l-ekwazzjoni minħabba li n-naħa tax-xellug u n-naħa tal-lemin għandhom sinjali opposta.

$$10+53^{\frac{1}{2}}=-53^{\frac{1}{2}}$$

Issostitwixxi 81-10\sqrt{53} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra \sqrt{2x-9}=5-\sqrt{x-3}.

$$\sqrt{2\left(81-10\sqrt{53}\right)-9}=5-\sqrt{81-10\sqrt{53}-3}$$

Issimplifika. Il-valur x=81-10\sqrt{53} jissodisfa l-ekwazzjoni.

$$10-53^{\frac{1}{2}}=10-53^{\frac{1}{2}}$$

Ekwazzjoni \sqrt{2x-9}=-\sqrt{x-3}+5 għandha soluzzjoni unika.

$$x=81-10\sqrt{53}$$