Issolvi sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

Solvi għal x

$$x=\sqrt{10}\approx 3.16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3.16227766$$

Passi tas-Soluzzjonijiet

Naqqas -\sqrt{19-x^{2}} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Ikkwadra ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Ikkalkula \sqrt{15+x^{2}} bil-power ta' 2 u tikseb 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Uża teorema binomjali \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} biex tespandi \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Ikkalkula \sqrt{19-x^{2}} bil-power ta' 2 u tikseb 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

Żid 4 u 19 biex tikseb 23.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Naqqas 23-x^{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Biex issib l-oppost ta' 23-x^{2}, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Naqqas 23 minn 15 biex tikseb -8.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Ikkombina x^{2} u x^{2} biex tikseb 2x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Ikkwadra ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Uża teorema binomjali \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} biex tespandi \left(-8+2x^{2}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Biex tgħolli l-qawwa ta' numru għal qawwa oħra, immultiplika l-esponenti. Immultiplika 2 u 2 biex tikseb 4.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Espandi \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Ikkalkula 4 bil-power ta' 2 u tikseb 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Ikkalkula \sqrt{19-x^{2}} bil-power ta' 2 u tikseb 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 16 b'19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Naqqas 304 miż-żewġ naħat.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

Naqqas 304 minn 64 biex tikseb -240.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Żid 16x^{2} maż-żewġ naħat.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

Ikkombina -32x^{2} u 16x^{2} biex tikseb -16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

Issostitwixxi t għal x^{2}.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti billi tuża l-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostitut 4 għal a, -16 għal b, u -240 għal c fil-formula kwadratika.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Agħmel il-kalkoli.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

Solvi l-ekwazzjoni t=\frac{16±64}{8} meta ± hija plus u meta ± hija minus.

$$t=10 t=-6$$

Minħabba x=t^{2}, is-soluzzjonijiet huma miksuba billi jevalwa x=±\sqrt{t} għal pożittiv t.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

Issostitwixxi \sqrt{10} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Issimplifika. Il-valur x=\sqrt{10} jissodisfa l-ekwazzjoni.

$$2=2$$

Issostitwixxi -\sqrt{10} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Issimplifika. Il-valur x=-\sqrt{10} jissodisfa l-ekwazzjoni.

$$2=2$$

Elenka s-soluzzjonijiet kollha ta’ \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$