Issolvi {l}{4x-y=-14}{3x-y=-11}

$$\left.\begin{array} { l } { 4 x - y = - 14 } \\ { 3 x - y = - 11 } \end{array} \right\}$$

Solvi għal x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x-y=-14,3x-y=-11$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x-y=-14$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=y-14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y-14\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'y-14.

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{7}{2}$$

Issostitwixxi \frac{y}{4}-\frac{7}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x-y=-11.

$$3\left(\frac{1}{4}y-\frac{7}{2}\right)-y=-11$$

Immultiplika 3 b'\frac{y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{3}{4}y-\frac{21}{2}-y=-11$$

Żid \frac{3y}{4} ma' -y.

$$-\frac{1}{4}y-\frac{21}{2}=-11$$

Żid \frac{21}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-4.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'x=\frac{1}{4}y-\frac{7}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'2.

$$x=\frac{1-7}{2}$$

Żid -\frac{7}{2} ma' \frac{1}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-3,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x-y=-14,3x-y=-11$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14-\left(-11\right)\\3\left(-14\right)-4\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-3,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x-y=-14,3x-y=-11$$

Naqqas 3x-y=-11 minn 4x-y=-14 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$4x-3x-y+y=-14+11$$

Żid -y ma' y. -y u y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$4x-3x=-14+11$$

Żid 4x ma' -3x.

$$x=-14+11$$

Żid -14 ma' 11.

$$x=-3$$

Issostitwixxi -3 għal x f'3x-y=-11. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$3\left(-3\right)-y=-11$$

Immultiplika 3 b'-3.

$$-9-y=-11$$

Żid 9 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-y=-2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-3,y=2$$