Issolvi {l}{4*(x+2y)-x=-y}{-3x=2y-4-x}

$$\left.\begin{array} { l } { 4 \cdot ( x + 2 y ) - x = - y } \\ { - 3 x = 2 y - 4 - x } \end{array} \right\}$$

Solvi għal x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'x+2y.

$$4x+8y-x=-y$$

Ikkombina 4x u -x biex tikseb 3x.

$$3x+8y=-y$$

Żid y maż-żewġ naħat.

$$3x+8y+y=0$$

Ikkombina 8y u y biex tikseb 9y.

$$3x+9y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$-3x-2y=-4-x$$

Żid x maż-żewġ naħat.

$$-3x-2y+x=-4$$

Ikkombina -3x u x biex tikseb -2x.

$$-2x-2y=-4$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+9y=0$$

Naqqas 9y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-9y$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-9\right)y$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-9y.

$$x=-3y$$

Issostitwixxi -3y għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -2x-2y=-4.

$$-2\left(-3\right)y-2y=-4$$

Immultiplika -2 b'-3y.

$$6y-2y=-4$$

Żid 6y ma' -2y.

$$4y=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'x=-3y. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-3\left(-1\right)$$

Immultiplika -3 b'-1.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'x+2y.

$$4x+8y-x=-y$$

Ikkombina 4x u -x biex tikseb 3x.

$$3x+8y=-y$$

Żid y maż-żewġ naħat.

$$3x+8y+y=0$$

Ikkombina 8y u y biex tikseb 9y.

$$3x+9y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$-3x-2y=-4-x$$

Żid x maż-żewġ naħat.

$$-3x-2y+x=-4$$

Ikkombina -3x u x biex tikseb -2x.

$$-2x-2y=-4$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}&-\frac{9}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\left(-4\right)\\\frac{1}{4}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=3,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'x+2y.

$$4x+8y-x=-y$$

Ikkombina 4x u -x biex tikseb 3x.

$$3x+8y=-y$$

Żid y maż-żewġ naħat.

$$3x+8y+y=0$$

Ikkombina 8y u y biex tikseb 9y.

$$3x+9y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$-3x-2y=-4-x$$

Żid x maż-żewġ naħat.

$$-3x-2y+x=-4$$

Ikkombina -3x u x biex tikseb -2x.

$$-2x-2y=-4$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

Biex tagħmel 3x u -2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$-2\times 3x-2\times 9y=0,3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\left(-4\right)$$

Issimplifika.

$$-6x-18y=0,-6x-6y=-12$$

Naqqas -6x-6y=-12 minn -6x-18y=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-6x+6x-18y+6y=12$$

Żid -6x ma' 6x. -6x u 6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-18y+6y=12$$

Żid -18y ma' 6y.

$$-12y=12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-12.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'-2x-2y=-4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-2x-2\left(-1\right)=-4$$

Immultiplika -2 b'-1.

$$-2x+2=-4$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=-1$$