Issolvi {l}{-(x+2y)-x=-y}{-3x=2y-4-x}

$$\left.\begin{array} { l } { - ( x + 2 y ) - x = - y } \\ { - 3 x = 2 y - 4 - x } \end{array} \right\}$$

Solvi għal x, y

$$x=-2$$

$$y=4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Biex issib l-oppost ta' x+2y, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$-x-2y-x=-y$$

Ikkombina -x u -x biex tikseb -2x.

$$-2x-2y=-y$$

Żid y maż-żewġ naħat.

$$-2x-2y+y=0$$

Ikkombina -2y u y biex tikseb -y.

$$-2x-y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$-3x-2y=-4-x$$

Żid x maż-żewġ naħat.

$$-3x-2y+x=-4$$

Ikkombina -3x u x biex tikseb -2x.

$$-2x-2y=-4$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-2x-y=0,-2x-2y=-4$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-2x-y=0$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=y$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=-\frac{1}{2}y$$

Issostitwixxi -\frac{y}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -2x-2y=-4.

$$-2\left(-\frac{1}{2}\right)y-2y=-4$$

Immultiplika -2 b'-\frac{y}{2}.

$$y-2y=-4$$

Żid y ma' -2y.

$$-y=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'x=-\frac{1}{2}y. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{2}\times 4$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'4.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Biex issib l-oppost ta' x+2y, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$-x-2y-x=-y$$

Ikkombina -x u -x biex tikseb -2x.

$$-2x-2y=-y$$

Żid y maż-żewġ naħat.

$$-2x-2y+y=0$$

Ikkombina -2y u y biex tikseb -y.

$$-2x-y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$-3x-2y=-4-x$$

Żid x maż-żewġ naħat.

$$-3x-2y+x=-4$$

Ikkombina -3x u x biex tikseb -2x.

$$-2x-2y=-4$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-2x-y=0,-2x-2y=-4$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-4\right)\\-\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-2,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Biex issib l-oppost ta' x+2y, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$-x-2y-x=-y$$

Ikkombina -x u -x biex tikseb -2x.

$$-2x-2y=-y$$

Żid y maż-żewġ naħat.

$$-2x-2y+y=0$$

Ikkombina -2y u y biex tikseb -y.

$$-2x-y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$-3x-2y=-4-x$$

Żid x maż-żewġ naħat.

$$-3x-2y+x=-4$$

Ikkombina -3x u x biex tikseb -2x.

$$-2x-2y=-4$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-2x-y=0,-2x-2y=-4$$

Naqqas -2x-2y=-4 minn -2x-y=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-2x+2x-y+2y=4$$

Żid -2x ma' 2x. -2x u 2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-y+2y=4$$

Żid -y ma' 2y.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'-2x-2y=-4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-2x-2\times 4=-4$$

Immultiplika -2 b'4.

$$-2x-8=-4$$

Żid 8 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=4$$