Issolvi {l}{y=3x-13}{4x-3y=19}

$$\left. \begin{array}{l}{ y = 3 x - 13 }\\{ 4 x - 3 y = 19 }\end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=4$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$y-3x=-13$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y-3x=-13,-3y+4x=19$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y-3x=-13$$

Żid 3x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=3x-13$$

Issostitwixxi 3x-13 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, -3y+4x=19.

$$-3\left(3x-13\right)+4x=19$$

Immultiplika -3 b'3x-13.

$$-9x+39+4x=19$$

Żid -9x ma' 4x.

$$-5x+39=19$$

Naqqas 39 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5x=-20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=4$$

Issostitwixxi 4 għal x f'y=3x-13. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=3\times 4-13$$

Immultiplika 3 b'4.

$$y=12-13$$

Żid -13 ma' 12.

$$y=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-1,x=4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$y-3x=-13$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y-3x=-13,-3y+4x=19$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\19\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\19\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\19\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\19\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\19\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\19\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\left(-13\right)-\frac{3}{5}\times 19\\-\frac{3}{5}\left(-13\right)-\frac{1}{5}\times 19\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-1,x=4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$y-3x=-13$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y-3x=-13,-3y+4x=19$$

Biex tagħmel y u -3y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$-3y-3\left(-3\right)x=-3\left(-13\right),-3y+4x=19$$

Issimplifika.

$$-3y+9x=39,-3y+4x=19$$

Naqqas -3y+4x=19 minn -3y+9x=39 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-3y+3y+9x-4x=39-19$$

Żid -3y ma' 3y. -3y u 3y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$9x-4x=39-19$$

Żid 9x ma' -4x.

$$5x=39-19$$

Żid 39 ma' -19.

$$5x=20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=4$$

Issostitwixxi 4 għal x f'-3y+4x=19. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$-3y+4\times 4=19$$

Immultiplika 4 b'4.

$$-3y+16=19$$

Naqqas 16 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3y=3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-1,x=4$$