Issolvi {l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Żid 3 u 1 biex tikseb 4.

$$x+2y=4+3y$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$x+2y-3y=4$$

Ikkombina 2y u -3y biex tikseb -y.

$$x-y=4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Żid 2y maż-żewġ naħat.

$$8-y+2y=2+3x$$

Ikkombina -y u 2y biex tikseb y.

$$8+y=2+3x$$

Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$8+y-3x=2$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat.

$$y-3x=2-8$$

Naqqas 8 minn 2 biex tikseb -6.

$$y-3x=-6$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x-y=4$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=y+4$$

Issostitwixxi y+4 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -3x+y=-6.

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

Immultiplika -3 b'y+4.

$$-3y-12+y=-6$$

Żid -3y ma' y.

$$-2y-12=-6$$

Żid 12 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2y=6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'x=y+4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-3+4$$

Żid 4 ma' -3.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Żid 3 u 1 biex tikseb 4.

$$x+2y=4+3y$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$x+2y-3y=4$$

Ikkombina 2y u -3y biex tikseb -y.

$$x-y=4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Żid 2y maż-żewġ naħat.

$$8-y+2y=2+3x$$

Ikkombina -y u 2y biex tikseb y.

$$8+y=2+3x$$

Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$8+y-3x=2$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat.

$$y-3x=2-8$$

Naqqas 8 minn 2 biex tikseb -6.

$$y-3x=-6$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Żid 3 u 1 biex tikseb 4.

$$x+2y=4+3y$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$x+2y-3y=4$$

Ikkombina 2y u -3y biex tikseb -y.

$$x-y=4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Żid 2y maż-żewġ naħat.

$$8-y+2y=2+3x$$

Ikkombina -y u 2y biex tikseb y.

$$8+y=2+3x$$

Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$8+y-3x=2$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat.

$$y-3x=2-8$$

Naqqas 8 minn 2 biex tikseb -6.

$$y-3x=-6$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Biex tagħmel x u -3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

Issimplifika.

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

Naqqas -3x+y=-6 minn -3x+3y=-12 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

Żid -3x ma' 3x. -3x u 3x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3y-y=-12+6$$

Żid 3y ma' -y.

$$2y=-12+6$$

Żid -12 ma' 6.

$$2y=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'-3x+y=-6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-3x-3=-6$$

Żid 3 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3x=-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-3$$