Issolvi {l}{m+n=-3}{2n-3m=1}

$$\left. \begin{array}{l}{ m + n = - 3 }\\{ 2 n - 3 m = 1 }\end{array} \right.$$

Solvi għal m, n

$$m = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$n = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal m billi tiżola m fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$m+n=-3$$

Naqqas n miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$m=-n-3$$

Issostitwixxi -n-3 għal m fl-ekwazzjoni l-oħra, -3m+2n=1.

$$-3\left(-n-3\right)+2n=1$$

Immultiplika -3 b'-n-3.

$$3n+9+2n=1$$

Żid 3n ma' 2n.

$$5n+9=1$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5n=-8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$n=-\frac{8}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{8}{5} għal n f'm=-n-3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal m direttament.

$$m=-\left(-\frac{8}{5}\right)-3$$

Immultiplika -1 b'-\frac{8}{5}.

$$m=\frac{8}{5}-3$$

Żid -3 ma' \frac{8}{5}.

$$m=-\frac{7}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi m u n.

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

Biex tagħmel m u -3m ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$-3m-3n=-3\left(-3\right),-3m+2n=1$$

Issimplifika.

$$-3m-3n=9,-3m+2n=1$$

Naqqas -3m+2n=1 minn -3m-3n=9 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-3m+3m-3n-2n=9-1$$

Żid -3m ma' 3m. -3m u 3m jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-3n-2n=9-1$$

Żid -3n ma' -2n.

$$-5n=9-1$$

Żid 9 ma' -1.

$$-5n=8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$n=-\frac{8}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{8}{5} għal n f'-3m+2n=1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal m direttament.

$$-3m+2\left(-\frac{8}{5}\right)=1$$

Immultiplika 2 b'-\frac{8}{5}.

$$-3m-\frac{16}{5}=1$$

Żid \frac{16}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3m=\frac{21}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$m=-\frac{7}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$