Issolvi {l}{5x-4y=-7}{-6x+8y=2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 5 x - 4 y = - 7 }\\{ - 6 x + 8 y = 2 }\end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-3$$

$$y=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-4y=-7$$

Żid 4y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=4y-7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-7\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'4y-7.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}$$

Issostitwixxi \frac{4y-7}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -6x+8y=2.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}\right)+8y=2$$

Immultiplika -6 b'\frac{4y-7}{5}.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{42}{5}+8y=2$$

Żid -\frac{24y}{5} ma' 8y.

$$\frac{16}{5}y+\frac{42}{5}=2$$

Naqqas \frac{42}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{16}{5}y=-\frac{32}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{16}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{4}{5}\left(-2\right)-\frac{7}{5}$$

Immultiplika \frac{4}{5} b'-2.

$$x=\frac{-8-7}{5}$$

Żid -\frac{7}{5} ma' -\frac{8}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-3,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{3}{8}\left(-7\right)+\frac{5}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-3,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Biex tagħmel 5x u -6x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-7\right),5\left(-6\right)x+5\times 8y=5\times 2$$

Issimplifika.

$$-30x+24y=42,-30x+40y=10$$

Naqqas -30x+40y=10 minn -30x+24y=42 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-30x+30x+24y-40y=42-10$$

Żid -30x ma' 30x. -30x u 30x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$24y-40y=42-10$$

Żid 24y ma' -40y.

$$-16y=42-10$$

Żid 42 ma' -10.

$$-16y=32$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-16.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'-6x+8y=2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-6x+8\left(-2\right)=2$$

Immultiplika 8 b'-2.

$$-6x-16=2$$

Żid 16 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-6x=18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-6.

$$x=-3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-3,y=-2$$