Issolvi {l}{2x-y=4}{y=x+3}

$$\left. \begin{array}{l}{ 2 x - y = 4 }\\{ y = x + 3 }\end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=7$$

$$y=10$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$y-x=3$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-y=4$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Issostitwixxi \frac{y}{2}+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -x+y=3.

$$-\left(\frac{1}{2}y+2\right)+y=3$$

Immultiplika -1 b'\frac{y}{2}+2.

$$-\frac{1}{2}y-2+y=3$$

Żid -\frac{y}{2} ma' y.

$$\frac{1}{2}y-2=3$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{2}y=5$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'2.

$$y=10$$

Issostitwixxi 10 għal y f'x=\frac{1}{2}y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{2}\times 10+2$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'10.

$$x=5+2$$

Żid 2 ma' 5.

$$x=7$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=7,y=10$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$y-x=3$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4+3\\4+2\times 3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=7,y=10$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$y-x=3$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

Biex tagħmel 2x u -x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$-2x-\left(-y\right)=-4,2\left(-1\right)x+2y=2\times 3$$

Issimplifika.

$$-2x+y=-4,-2x+2y=6$$

Naqqas -2x+2y=6 minn -2x+y=-4 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-2x+2x+y-2y=-4-6$$

Żid -2x ma' 2x. -2x u 2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$y-2y=-4-6$$

Żid y ma' -2y.

$$-y=-4-6$$

Żid -4 ma' -6.

$$-y=-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=10$$

Issostitwixxi 10 għal y f'-x+y=3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-x+10=3$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=7$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=7,y=10$$