Issolvi {l}{-5x+y=-11}{4x-6y=14}

$$\left. \begin{array}{l}{ - 5 x + y = - 11 }\\{ 4 x - 6 y = 14 }\end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-5x+y=-11$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5x=-y-11$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-11\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{5} b'-y-11.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}$$

Issostitwixxi \frac{11+y}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x-6y=14.

$$4\left(\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}\right)-6y=14$$

Immultiplika 4 b'\frac{11+y}{5}.

$$\frac{4}{5}y+\frac{44}{5}-6y=14$$

Żid \frac{4y}{5} ma' -6y.

$$-\frac{26}{5}y+\frac{44}{5}=14$$

Naqqas \frac{44}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{26}{5}y=\frac{26}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{26}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'x=\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{11}{5}$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-1.

$$x=\frac{-1+11}{5}$$

Żid \frac{11}{5} ma' -\frac{1}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-5\left(-6\right)-4}&-\frac{1}{-5\left(-6\right)-4}\\-\frac{4}{-5\left(-6\right)-4}&-\frac{5}{-5\left(-6\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}&-\frac{1}{26}\\-\frac{2}{13}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}\left(-11\right)-\frac{1}{26}\times 14\\-\frac{2}{13}\left(-11\right)-\frac{5}{26}\times 14\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

Biex tagħmel -5x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-5.

$$4\left(-5\right)x+4y=4\left(-11\right),-5\times 4x-5\left(-6\right)y=-5\times 14$$

Issimplifika.

$$-20x+4y=-44,-20x+30y=-70$$

Naqqas -20x+30y=-70 minn -20x+4y=-44 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-20x+20x+4y-30y=-44+70$$

Żid -20x ma' 20x. -20x u 20x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$4y-30y=-44+70$$

Żid 4y ma' -30y.

$$-26y=-44+70$$

Żid -44 ma' 70.

$$-26y=26$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-26.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'4x-6y=14. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x-6\left(-1\right)=14$$

Immultiplika -6 b'-1.

$$4x+6=14$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=-1$$