Issolvi {l}{x+1/y+1=1/3}{x-1/y-1=1/4}

$$\left. \begin{array}{l}{ \frac { x + 1 } { y + 1 } = \frac { 1 } { 3 } }\\{ \frac { x - 1 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 4 } }\end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=5$$

$$y=17$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Il-varjabbli y ma jistax ikun ugwali għal -1 billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3\left(y+1\right), l-inqas denominatur komuni ta' y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+1.

$$3x+3=y+1$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$3x+3-y=1$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat.

$$3x-y=1-3$$

Naqqas 3 minn 1 biex tikseb -2.

$$3x-y=-2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Il-varjabbli y ma jistax ikun ugwali għal 1 billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'4\left(y-1\right), l-inqas denominatur komuni ta' y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'x-1.

$$4x-4=y-1$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$4x-4-y=-1$$

Żid 4 maż-żewġ naħat.

$$4x-y=-1+4$$

Żid -1 u 4 biex tikseb 3.

$$4x-y=3$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x-y=-2$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=y-2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'y-2.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-2+y}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x-y=3.

$$4\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-y=3$$

Immultiplika 4 b'\frac{-2+y}{3}.

$$\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}-y=3$$

Żid \frac{4y}{3} ma' -y.

$$\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}=3$$

Żid \frac{8}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{3}y=\frac{17}{3}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'3.

$$y=17$$

Issostitwixxi 17 għal y f'x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{3}\times 17-\frac{2}{3}$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'17.

$$x=\frac{17-2}{3}$$

Żid -\frac{2}{3} ma' \frac{17}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=17$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Il-varjabbli y ma jistax ikun ugwali għal -1 billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3\left(y+1\right), l-inqas denominatur komuni ta' y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+1.

$$3x+3=y+1$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$3x+3-y=1$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat.

$$3x-y=1-3$$

Naqqas 3 minn 1 biex tikseb -2.

$$3x-y=-2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Il-varjabbli y ma jistax ikun ugwali għal 1 billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'4\left(y-1\right), l-inqas denominatur komuni ta' y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'x-1.

$$4x-4=y-1$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$4x-4-y=-1$$

Żid 4 maż-żewġ naħat.

$$4x-y=-1+4$$

Żid -1 u 4 biex tikseb 3.

$$4x-y=3$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-2\right)+3\\-4\left(-2\right)+3\times 3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=5,y=17$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Il-varjabbli y ma jistax ikun ugwali għal -1 billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3\left(y+1\right), l-inqas denominatur komuni ta' y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+1.

$$3x+3=y+1$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$3x+3-y=1$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat.

$$3x-y=1-3$$

Naqqas 3 minn 1 biex tikseb -2.

$$3x-y=-2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Il-varjabbli y ma jistax ikun ugwali għal 1 billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'4\left(y-1\right), l-inqas denominatur komuni ta' y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'x-1.

$$4x-4=y-1$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$4x-4-y=-1$$

Żid 4 maż-żewġ naħat.

$$4x-y=-1+4$$

Żid -1 u 4 biex tikseb 3.

$$4x-y=3$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Naqqas 4x-y=3 minn 3x-y=-2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$3x-4x-y+y=-2-3$$

Żid -y ma' y. -y u y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3x-4x=-2-3$$

Żid 3x ma' -4x.

$$-x=-2-3$$

Żid -2 ma' -3.

$$-x=-5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=5$$

Issostitwixxi 5 għal x f'4x-y=3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$4\times 5-y=3$$

Immultiplika 4 b'5.

$$20-y=3$$

Naqqas 20 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-y=-17$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=17$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=17$$