Issolvi {r}{x-7y=-11}{5x+2y=-18}

$$\left. \begin{array} { r } { x - 7 y = - 11 } \\ { 5 x + 2 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-4$$

$$y=1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x-7y=-11,5x+2y=-18$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x-7y=-11$$

Żid 7y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=7y-11$$

Issostitwixxi 7y-11 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x+2y=-18.

$$5\left(7y-11\right)+2y=-18$$

Immultiplika 5 b'7y-11.

$$35y-55+2y=-18$$

Żid 35y ma' 2y.

$$37y-55=-18$$

Żid 55 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$37y=37$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'37.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'x=7y-11. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=7-11$$

Żid -11 ma' 7.

$$x=-4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-4,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x-7y=-11,5x+2y=-18$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-7\times 5\right)}&-\frac{-7}{2-\left(-7\times 5\right)}\\-\frac{5}{2-\left(-7\times 5\right)}&\frac{1}{2-\left(-7\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}&\frac{7}{37}\\-\frac{5}{37}&\frac{1}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}\left(-11\right)+\frac{7}{37}\left(-18\right)\\-\frac{5}{37}\left(-11\right)+\frac{1}{37}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-4,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x-7y=-11,5x+2y=-18$$

Biex tagħmel x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$5x+5\left(-7\right)y=5\left(-11\right),5x+2y=-18$$

Issimplifika.

$$5x-35y=-55,5x+2y=-18$$

Naqqas 5x+2y=-18 minn 5x-35y=-55 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$5x-5x-35y-2y=-55+18$$

Żid 5x ma' -5x. 5x u -5x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-35y-2y=-55+18$$

Żid -35y ma' -2y.

$$-37y=-55+18$$

Żid -55 ma' 18.

$$-37y=-37$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-37.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'5x+2y=-18. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x+2=-18$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=-4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-4,y=1$$