Issolvi {r}{x+4y=25}{-4x+3y=52}

$$\left. \begin{array} { r } { x + 4 y = 25 } \\ { - 4 x + 3 y = 52 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-7$$

$$y=8$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+4y=25$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-4y+25$$

Issostitwixxi -4y+25 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -4x+3y=52.

$$-4\left(-4y+25\right)+3y=52$$

Immultiplika -4 b'-4y+25.

$$16y-100+3y=52$$

Żid 16y ma' 3y.

$$19y-100=52$$

Żid 100 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$19y=152$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'19.

$$y=8$$

Issostitwixxi 8 għal y f'x=-4y+25. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-4\times 8+25$$

Immultiplika -4 b'8.

$$x=-32+25$$

Żid 25 ma' -32.

$$x=-7$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-7,y=8$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4\left(-4\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3-4\left(-4\right)}&\frac{1}{3-4\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&-\frac{4}{19}\\\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\times 25-\frac{4}{19}\times 52\\\frac{4}{19}\times 25+\frac{1}{19}\times 52\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-7,y=8$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

Biex tagħmel x u -4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$-4x-4\times 4y=-4\times 25,-4x+3y=52$$

Issimplifika.

$$-4x-16y=-100,-4x+3y=52$$

Naqqas -4x+3y=52 minn -4x-16y=-100 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-4x+4x-16y-3y=-100-52$$

Żid -4x ma' 4x. -4x u 4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-16y-3y=-100-52$$

Żid -16y ma' -3y.

$$-19y=-100-52$$

Żid -100 ma' -52.

$$-19y=-152$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-19.

$$y=8$$

Issostitwixxi 8 għal y f'-4x+3y=52. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-4x+3\times 8=52$$

Immultiplika 3 b'8.

$$-4x+24=52$$

Naqqas 24 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4x=28$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$x=-7$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-7,y=8$$