Issolvi {r}{x+3y=-2}{-x-12y=12}

$$\left. \begin{array} { r } { x + 3 y = - 2 } \\ { - x - 12 y = 12 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = -\frac{10}{9} = -1\frac{1}{9} \approx -1.111111111$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+3y=-2,-x-12y=12$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+3y=-2$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-3y-2$$

Issostitwixxi -3y-2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -x-12y=12.

$$-\left(-3y-2\right)-12y=12$$

Immultiplika -1 b'-3y-2.

$$3y+2-12y=12$$

Żid 3y ma' -12y.

$$-9y+2=12$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-9y=10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-9.

$$y=-\frac{10}{9}$$

Issostitwixxi -\frac{10}{9} għal y f'x=-3y-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-3\left(-\frac{10}{9}\right)-2$$

Immultiplika -3 b'-\frac{10}{9}.

$$x=\frac{10}{3}-2$$

Żid -2 ma' \frac{10}{3}.

$$x=\frac{4}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{4}{3},y=-\frac{10}{9}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+3y=-2,-x-12y=12$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&3\\-1&-12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{-12-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{-12-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-12-3\left(-1\right)}&\frac{1}{-12-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\left(-2\right)+\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-2\right)-\frac{1}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\-\frac{10}{9}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{4}{3},y=-\frac{10}{9}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+3y=-2,-x-12y=12$$

Biex tagħmel x u -x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$-x-3y=-\left(-2\right),-x-12y=12$$

Issimplifika.

$$-x-3y=2,-x-12y=12$$

Naqqas -x-12y=12 minn -x-3y=2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-x+x-3y+12y=2-12$$

Żid -x ma' x. -x u x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-3y+12y=2-12$$

Żid -3y ma' 12y.

$$9y=2-12$$

Żid 2 ma' -12.

$$9y=-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$y=-\frac{10}{9}$$

Issostitwixxi -\frac{10}{9} għal y f'-x-12y=12. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-x-12\left(-\frac{10}{9}\right)=12$$

Immultiplika -12 b'-\frac{10}{9}.

$$-x+\frac{40}{3}=12$$

Naqqas \frac{40}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-\frac{4}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=\frac{4}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{4}{3},y=-\frac{10}{9}$$