Issolvi {r}{d+q=40}{10d+0.25q=5.80}

$$\left. \begin{array} { r } { d + q = 40 } \\ { 10 d + 0.25 q = 5.80 } \end{array} \right.$$

Solvi għal d, q

$$d=-\frac{28}{65}\approx -0.430769231$$

$$q = \frac{2628}{65} = 40\frac{28}{65} \approx 40.430769231$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal d billi tiżola d fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$d+q=40$$

Naqqas q miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$d=-q+40$$

Issostitwixxi -q+40 għal d fl-ekwazzjoni l-oħra, 10d+0.25q=5.8.

$$10\left(-q+40\right)+0.25q=5.8$$

Immultiplika 10 b'-q+40.

$$-10q+400+0.25q=5.8$$

Żid -10q ma' \frac{q}{4}.

$$-9.75q+400=5.8$$

Naqqas 400 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-9.75q=-394.2$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-9.75, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$q=\frac{2628}{65}$$

Issostitwixxi \frac{2628}{65} għal q f'd=-q+40. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal d direttament.

$$d=-\frac{2628}{65}+40$$

Żid 40 ma' -\frac{2628}{65}.

$$d=-\frac{28}{65}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.25}{0.25-10}&-\frac{1}{0.25-10}\\-\frac{10}{0.25-10}&\frac{1}{0.25-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{39}&\frac{4}{39}\\\frac{40}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{39}\times 40+\frac{4}{39}\times 5.8\\\frac{40}{39}\times 40-\frac{4}{39}\times 5.8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{65}\\\frac{2628}{65}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi d u q.

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

Biex tagħmel d u 10d ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'10 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$10d+10q=10\times 40,10d+0.25q=5.8$$

Issimplifika.

$$10d+10q=400,10d+0.25q=5.8$$

Naqqas 10d+0.25q=5.8 minn 10d+10q=400 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$10d-10d+10q-0.25q=400-5.8$$

Żid 10d ma' -10d. 10d u -10d jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$10q-0.25q=400-5.8$$

Żid 10q ma' -\frac{q}{4}.

$$9.75q=400-5.8$$

Żid 400 ma' -5.8.

$$9.75q=394.2$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'9.75, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$q=\frac{2628}{65}$$

Issostitwixxi \frac{2628}{65} għal q f'10d+0.25q=5.8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal d direttament.

$$10d+0.25\times \frac{2628}{65}=5.8$$

Immultiplika 0.25 b'\frac{2628}{65} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$10d+\frac{657}{65}=5.8$$

Naqqas \frac{657}{65} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$10d=-\frac{56}{13}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'10.

$$d=-\frac{28}{65}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$