Issolvi {r}{8x+y=21}{24x-5y=23}

$$\left. \begin{array} { r } { 8 x + y = 21 } \\ { 24 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2$$

$$y=5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$8x+y=21$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$8x=-y+21$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+21\right)$$

Immultiplika \frac{1}{8} b'-y+21.

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}$$

Issostitwixxi \frac{-y+21}{8} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 24x-5y=23.

$$24\left(-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}\right)-5y=23$$

Immultiplika 24 b'\frac{-y+21}{8}.

$$-3y+63-5y=23$$

Żid -3y ma' -5y.

$$-8y+63=23$$

Naqqas 63 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-8y=-40$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-8.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{8}\times 5+\frac{21}{8}$$

Immultiplika -\frac{1}{8} b'5.

$$x=\frac{-5+21}{8}$$

Żid \frac{21}{8} ma' -\frac{5}{8} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-24}&-\frac{1}{8\left(-5\right)-24}\\-\frac{24}{8\left(-5\right)-24}&\frac{8}{8\left(-5\right)-24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}&\frac{1}{64}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}\times 21+\frac{1}{64}\times 23\\\frac{3}{8}\times 21-\frac{1}{8}\times 23\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

Biex tagħmel 8x u 24x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'24 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'8.

$$24\times 8x+24y=24\times 21,8\times 24x+8\left(-5\right)y=8\times 23$$

Issimplifika.

$$192x+24y=504,192x-40y=184$$

Naqqas 192x-40y=184 minn 192x+24y=504 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$192x-192x+24y+40y=504-184$$

Żid 192x ma' -192x. 192x u -192x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$24y+40y=504-184$$

Żid 24y ma' 40y.

$$64y=504-184$$

Żid 504 ma' -184.

$$64y=320$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'64.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'24x-5y=23. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$24x-5\times 5=23$$

Immultiplika -5 b'5.

$$24x-25=23$$

Żid 25 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$24x=48$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'24.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=5$$