Issolvi {r}{7x+2y=24}{-8x+2y=-30}

$$\left. \begin{array} { r } { 7 x + 2 y = 24 } \\ { - 8 x + 2 y = - 30 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$7x+2y=24$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7x=-2y+24$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+24\right)$$

Immultiplika \frac{1}{7} b'-2y+24.

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

Issostitwixxi \frac{-2y+24}{7} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -8x+2y=-30.

$$-8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)+2y=-30$$

Immultiplika -8 b'\frac{-2y+24}{7}.

$$\frac{16}{7}y-\frac{192}{7}+2y=-30$$

Żid \frac{16y}{7} ma' 2y.

$$\frac{30}{7}y-\frac{192}{7}=-30$$

Żid \frac{192}{7} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{30}{7}y=-\frac{18}{7}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{30}{7}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{3}{5} għal y f'x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{2}{7}\left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{24}{7}$$

Immultiplika -\frac{2}{7} b'-\frac{3}{5} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{6}{35}+\frac{24}{7}$$

Żid \frac{24}{7} ma' \frac{6}{35} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{18}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}&-\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{7\times 2-2\left(-8\right)}&\frac{7}{7\times 2-2\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\\\frac{4}{15}&\frac{7}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 24-\frac{1}{15}\left(-30\right)\\\frac{4}{15}\times 24+\frac{7}{30}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

Naqqas -8x+2y=-30 minn 7x+2y=24 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$7x+8x+2y-2y=24+30$$

Żid 2y ma' -2y. 2y u -2y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$7x+8x=24+30$$

Żid 7x ma' 8x.

$$15x=24+30$$

Żid 24 ma' 30.

$$15x=54$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'15.

$$x=\frac{18}{5}$$

Issostitwixxi \frac{18}{5} għal x f'-8x+2y=-30. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$-8\times \frac{18}{5}+2y=-30$$

Immultiplika -8 b'\frac{18}{5}.

$$-\frac{144}{5}+2y=-30$$

Żid \frac{144}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2y=-\frac{6}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$