Issolvi {r}{6x+8y=k}{x+y=1}

$$\left. \begin{array} { r } { 6 x + 8 y = k } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

$$y=\frac{k}{2}-3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$6x+8y=k$$

Naqqas 8y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=-8y+k$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-8y+k\right)$$

Immultiplika \frac{1}{6} b'-8y+k.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}$$

Issostitwixxi -\frac{4y}{3}+\frac{k}{6} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+y=1.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}+y=1$$

Żid -\frac{4y}{3} ma' y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{k}{6}=1$$

Naqqas \frac{k}{6} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{k}{6}+1$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=\frac{k}{2}-3$$

Issostitwixxi -3+\frac{k}{2} għal y f'x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{4}{3}\left(\frac{k}{2}-3\right)+\frac{k}{6}$$

Immultiplika -\frac{4}{3} b'-3+\frac{k}{2}.

$$x=-\frac{2k}{3}+4+\frac{k}{6}$$

Żid \frac{k}{6} ma' 4-\frac{2k}{3}.

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-8}&-\frac{8}{6-8}\\-\frac{1}{6-8}&\frac{6}{6-8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&4\\\frac{1}{2}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}k+4\\\frac{1}{2}k-3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{k}{2}+4\\\frac{k}{2}-3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

Biex tagħmel 6x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'6.

$$6x+8y=k,6x+6y=6$$

Naqqas 6x+6y=6 minn 6x+8y=k billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x+8y-6y=k-6$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$8y-6y=k-6$$

Żid 8y ma' -6y.

$$2y=k-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=\frac{k}{2}-3$$

Issostitwixxi \frac{k}{2}-3 għal y f'x+y=1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+\frac{k}{2}-3=1$$

Naqqas -3+\frac{k}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$