Issolvi {r}{4x-6=-2y}{x+9=y}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - 6 = - 2 y } \\ { x + 9 = y } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-2$$

$$y=7$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 2y maż-żewġ naħat.

$$4x-6+2y=0$$

Żid 6 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$4x+2y=6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$x+9-y=0$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$x-y=-9$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+2y=6,x-y=-9$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+2y=6$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-2y+6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+6\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-2y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Issostitwixxi \frac{-y+3}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x-y=-9.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}-y=-9$$

Żid -\frac{y}{2} ma' -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}=-9$$

Naqqas \frac{3}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{21}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{3}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=7$$

Issostitwixxi 7 għal y f'x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{2}$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'7.

$$x=\frac{-7+3}{2}$$

Żid \frac{3}{2} ma' -\frac{7}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=7$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 2y maż-żewġ naħat.

$$4x-6+2y=0$$

Żid 6 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$4x+2y=6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$x+9-y=0$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$x-y=-9$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+2y=6,x-y=-9$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-2}&-\frac{2}{4\left(-1\right)-2}\\-\frac{1}{4\left(-1\right)-2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6+\frac{1}{3}\left(-9\right)\\\frac{1}{6}\times 6-\frac{2}{3}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-2,y=7$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 2y maż-żewġ naħat.

$$4x-6+2y=0$$

Żid 6 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$4x+2y=6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$x+9-y=0$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$x-y=-9$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+2y=6,x-y=-9$$

Biex tagħmel 4x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$4x+2y=6,4x+4\left(-1\right)y=4\left(-9\right)$$

Issimplifika.

$$4x+2y=6,4x-4y=-36$$

Naqqas 4x-4y=-36 minn 4x+2y=6 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$4x-4x+2y+4y=6+36$$

Żid 4x ma' -4x. 4x u -4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2y+4y=6+36$$

Żid 2y ma' 4y.

$$6y=6+36$$

Żid 6 ma' 36.

$$6y=42$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$y=7$$

Issostitwixxi 7 għal y f'x-y=-9. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x-7=-9$$

Żid 7 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=7$$