Issolvi {r}{4x-2y+4=0}{-4x+3y-3=0}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - 2 y + 4 = 0 } \\ { - 4 x + 3 y - 3 = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x-2y+4=0$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x-2y=-4$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=2y-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-4+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

Issostitwixxi \frac{y}{2}-1 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -4x+3y-3=0.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-1\right)+3y-3=0$$

Immultiplika -4 b'\frac{y}{2}-1.

$$-2y+4+3y-3=0$$

Żid -2y ma' 3y.

$$y+4-3=0$$

Żid 4 ma' -3.

$$y+1=0$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'x=\frac{1}{2}y-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)-1$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-1.

$$x=-\frac{1}{2}-1$$

Żid -1 ma' -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-4+3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

Biex tagħmel 4x u -4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y-4\times 4=0,4\left(-4\right)x+4\times 3y+4\left(-3\right)=0$$

Issimplifika.

$$-16x+8y-16=0,-16x+12y-12=0$$

Naqqas -16x+12y-12=0 minn -16x+8y-16=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-16x+16x+8y-12y-16+12=0$$

Żid -16x ma' 16x. -16x u 16x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$8y-12y-16+12=0$$

Żid 8y ma' -12y.

$$-4y-16+12=0$$

Żid -16 ma' 12.

$$-4y-4=0$$

Żid 4 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4y=4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'-4x+3y-3=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-4x+3\left(-1\right)-3=0$$

Immultiplika 3 b'-1.

$$-4x-3-3=0$$

Żid -3 ma' -3.

$$-4x-6=0$$

Żid 6 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4x=6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$